1. Planteamos el sistema de ecuaciones dado: $$\begin{cases} x - ay - z = -a \\ ax - y + z = a \\ ax + y = a \end{cases}$$ 2. Escribimos la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos el determinante de la matriz $A$ para discutir el sistema según $a$: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$$ 4. Calculamos cada menor: $$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (1)(1) = -1 \\ &\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} = a \cdot 0 - a \cdot 1 = -a \\ &\begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - a \cdot (-1) = a + a = 2a \end{aligned}$$ 5. Sustituimos en el determinante: $$\det(A) = 1 \cdot (-1) - (-a)(-a) - 1 \cdot 2a = -1 - a^2 - 2a$$ 6. Simplificamos: $$\det(A) = -1 - a^2 - 2a = -(a^2 + 2a + 1) = -(a+1)^2$$ 7. Conclusión sobre el sistema: - Si $\det(A) \neq 0$, es decir, si $a \neq -1$, el sistema es compatible determinado (única solución). - Si $\det(A) = 0$, es decir, si $a = -1$, el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. 8. Para $a = -1$, sustituimos en el sistema: $$\begin{cases} x - (-1)y - z = -(-1) \\ (-1)x - y + z = -1 \\ (-1)x + y = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ -x + y = -1 \end{cases}$$ 9. Sumamos la primera y segunda ecuación: $$ (x + y - z) + (-x - y + z) = 1 + (-1) \Rightarrow 0 = 0 $$ 10. La tercera ecuación es: $$ -x + y = -1 \Rightarrow y = x - 1 $$ 11. Usamos $y = x - 1$ en la primera ecuación: $$ x + (x - 1) - z = 1 \Rightarrow 2x - 1 - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 2 $$ 12. La solución para $a = -1$ es: $$ \begin{cases} y = x - 1 \\ z = 2x - 2 \end{cases}$$ con $x$ libre, por lo que el sistema es compatible indeterminado. 13. Para $a \neq -1$, calculamos la solución usando la matriz inversa o sustitución. Usamos el método de sustitución: De la tercera ecuación: $$ ax + y = a \Rightarrow y = a - ax = a(1 - x) $$ 14. Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$ x - a(a(1 - x)) - z = -a \Rightarrow x - a^2 + a^2 x - z = -a $$ 15. Simplificamos: $$ (1 + a^2) x - z = -a + a^2 $$ 16. De la segunda ecuación: $$ a x - y + z = a $$ Sustituimos $y$: $$ a x - a(1 - x) + z = a \Rightarrow a x - a + a x + z = a \Rightarrow 2 a x - a + z = a $$ 17. Despejamos $z$: $$ z = a - 2 a x + a = 2 a - 2 a x $$ 18. Igualamos las dos expresiones para $z$: $$ (1 + a^2) x - z = -a + a^2 \Rightarrow z = (1 + a^2) x + a - a^2 $$ Igualamos con la expresión de $z$ del paso 17: $$ (1 + a^2) x + a - a^2 = 2 a - 2 a x $$ 19. Reorganizamos: $$ (1 + a^2) x + a - a^2 + 2 a x - 2 a = 0 \Rightarrow (1 + a^2 + 2 a) x + (a - a^2 - 2 a) = 0 $$ 20. Simplificamos términos constantes: $$ (1 + a^2 + 2 a) x + (- a^2 - a) = 0 $$ 21. Factorizamos: $$ (a + 1)^2 x - a (a + 1) = 0 $$ 22. Como $a \neq -1$, dividimos ambos lados por $(a + 1)$: $$ \cancel{(a + 1)} (a + 1) x - a \cancel{(a + 1)} = 0 \Rightarrow (a + 1) x - a = 0 $$ 23. Despejamos $x$: $$ x = \frac{a}{a + 1} $$ 24. Calculamos $y$: $$ y = a (1 - x) = a \left(1 - \frac{a}{a + 1}\right) = a \frac{a + 1 - a}{a + 1} = \frac{a}{a + 1} $$ 25. Calculamos $z$: $$ z = 2 a - 2 a x = 2 a - 2 a \cdot \frac{a}{a + 1} = 2 a \left(1 - \frac{a}{a + 1}\right) = 2 a \frac{a + 1 - a}{a + 1} = \frac{2 a}{a + 1} $$ 26. Por lo tanto, para $a \neq -1$, la solución única es: $$ \boxed{\left( \frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1} \right)}$$