1. Planteamos el primer sistema de inecuaciones: $$\begin{cases}4x + 3y \leq 12 \\ x + 2y \leq 6 \\ x + y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ 2. Para resolverlo, encontramos las rectas límite de cada inecuación igualando a la igualdad: - $4x + 3y = 12$ - $x + 2y = 6$ - $x + y = 5$ 3. Encontramos los puntos de intersección entre estas rectas para determinar la región factible. 4. Intersección entre $4x + 3y = 12$ y $x + 2y = 6$: Multiplicamos la segunda por 3 para igualar coeficientes de $y$: $$3(x + 2y) = 3 \times 6 \Rightarrow 3x + 6y = 18$$ Restamos la primera ecuación: $$\cancel{4x} + 3y = 12$$ $$-(3x + 6y = 18)$$ $$x - 3y = -6$$ De aquí: $$x = -6 + 3y$$ Sustituimos en $x + 2y = 6$: $$(-6 + 3y) + 2y = 6$$ $$-6 + 5y = 6$$ $$5y = 12$$ $$y = \frac{12}{5} = 2.4$$ Entonces: $$x = -6 + 3 \times 2.4 = -6 + 7.2 = 1.2$$ Punto de intersección: $(1.2, 2.4)$ 5. Intersección entre $4x + 3y = 12$ y $x + y = 5$: De $x + y = 5$ despejamos $y = 5 - x$ Sustituimos en $4x + 3y = 12$: $$4x + 3(5 - x) = 12$$ $$4x + 15 - 3x = 12$$ $$x + 15 = 12$$ $$x = -3$$ Pero $x \geq 0$, entonces no es válido. 6. Intersección entre $x + 2y = 6$ y $x + y = 5$: De $x + y = 5$ despejamos $x = 5 - y$ Sustituimos en $x + 2y = 6$: $$(5 - y) + 2y = 6$$ $$5 + y = 6$$ $$y = 1$$ Entonces: $$x = 5 - 1 = 4$$ Punto de intersección: $(4, 1)$ 7. Verificamos los puntos extremos y las restricciones $x \geq 0$, $y \geq 0$ para definir la región factible. 8. Los vértices de la región factible son: - $(0,0)$ - $(0,3)$ de $4x + 3y = 12$ cuando $x=0$ - $(1.2, 2.4)$ intersección de $4x + 3y = 12$ y $x + 2y = 6$ - $(4,1)$ intersección de $x + 2y = 6$ y $x + y = 5$ - $(5,0)$ de $x + y = 5$ cuando $y=0$ 9. La solución es la región poligonal delimitada por estos puntos y las restricciones. --- Para el segundo sistema, es idéntico al primero, por lo que la solución es la misma. --- Para el tercer sistema: $$\begin{cases} x - y \geq 0 \\ y - 2 \leq 0 \\ 2x + y \leq 10 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ 1. Reescribimos las inecuaciones: - $x \geq y$ - $y \leq 2$ - $2x + y \leq 10$ - $y \geq 0$ 2. Encontramos intersecciones: - Entre $x = y$ y $y = 2$: $$x = 2$$ - Entre $x = y$ y $2x + y = 10$: Sustituimos $y = x$: $$2x + x = 10$$ $$3x = 10$$ $$x = \frac{10}{3} \approx 3.33$$ Entonces $y = 3.33$ - Entre $y = 2$ y $2x + y = 10$: $$2x + 2 = 10$$ $$2x = 8$$ $$x = 4$$ 3. Los vértices de la región factible son: - $(0,0)$ por $y \geq 0$ y $x \geq y$ - $(2,2)$ intersección de $x = y$ y $y = 2$ - $(4,2)$ intersección de $y = 2$ y $2x + y = 10$ - $(\frac{10}{3}, \frac{10}{3})$ intersección de $x = y$ y $2x + y = 10$ 4. La región factible está delimitada por estas líneas y puntos. --- **Respuesta final:** - Primer y segundo sistema: región poligonal con vértices $(0,0)$, $(0,3)$, $(1.2,2.4)$, $(4,1)$, $(5,0)$. - Tercer sistema: región con vértices $(0,0)$, $(2,2)$, $(4,2)$, $(\frac{10}{3}, \frac{10}{3})$.