1. Planteamos el problema: Resolver la inecuación $$\left|\frac{2 + 6x}{x - 1}\right| \geq 4$$. 2. Recordemos que para una expresión absoluta $$|A| \geq B$$ con $$B > 0$$, se cumple que $$A \geq B$$ o $$A \leq -B$$. 3. Aplicamos esta regla a nuestro problema: $$\frac{2 + 6x}{x - 1} \geq 4 \quad \text{o} \quad \frac{2 + 6x}{x - 1} \leq -4$$ 4. Resolvemos cada inecuación por separado, recordando que el denominador $$x - 1 \neq 0$$ y que al multiplicar por $$x - 1$$ debemos considerar su signo para cambiar o no el sentido de la desigualdad. Primera inecuación: $$\frac{2 + 6x}{x - 1} \geq 4$$ Multiplicamos ambos lados por $$x - 1$$: - Si $$x - 1 > 0$$ (es decir, $$x > 1$$), la desigualdad se mantiene: $$2 + 6x \geq 4(x - 1)$$ $$2 + 6x \geq 4x - 4$$ $$6x - 4x \geq -4 - 2$$ $$2x \geq -6$$ $$x \geq -3$$ Como $$x > 1$$ y $$x \geq -3$$, la solución para este caso es $$x > 1$$. - Si $$x - 1 < 0$$ (es decir, $$x < 1$$), la desigualdad cambia de sentido: $$2 + 6x \leq 4(x - 1)$$ $$2 + 6x \leq 4x - 4$$ $$6x - 4x \leq -4 - 2$$ $$2x \leq -6$$ $$x \leq -3$$ Como $$x < 1$$ y $$x \leq -3$$, la solución para este caso es $$x \leq -3$$. Segunda inecuación: $$\frac{2 + 6x}{x - 1} \leq -4$$ Multiplicamos ambos lados por $$x - 1$$: - Si $$x - 1 > 0$$ (es decir, $$x > 1$$), la desigualdad se mantiene: $$2 + 6x \leq -4(x - 1)$$ $$2 + 6x \leq -4x + 4$$ $$6x + 4x \leq 4 - 2$$ $$10x \leq 2$$ $$x \leq \frac{1}{5}$$ Pero como $$x > 1$$ y $$x \leq \frac{1}{5}$$ no hay solución en este caso. - Si $$x - 1 < 0$$ (es decir, $$x < 1$$), la desigualdad cambia de sentido: $$2 + 6x \geq -4(x - 1)$$ $$2 + 6x \geq -4x + 4$$ $$6x + 4x \geq 4 - 2$$ $$10x \geq 2$$ $$x \geq \frac{1}{5}$$ Como $$x < 1$$ y $$x \geq \frac{1}{5}$$, la solución para este caso es $$\frac{1}{5} \leq x < 1$$. 5. Unimos todas las soluciones y recordamos que $$x \neq 1$$ (denominador no puede ser cero): $$x \leq -3 \quad \text{o} \quad \frac{1}{5} \leq x < 1 \quad \text{o} \quad x > 1$$ 6. Por lo tanto, el conjunto solución es: $$(-\infty, -3] \cup \left[\frac{1}{5}, 1\right) \cup (1, +\infty)$$ 7. La respuesta correcta es la opción b.