1. **Planteamiento del problema:** Demostrar por inducción matemática que para todo $n \in \mathbb{N}^*$ se cumple: $$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 2. **Base de inducción:** Para $n=1$, evaluamos ambos lados: Lado izquierdo: $\sum_{i=1}^1 i^2 = 1^2 = 1$ Lado derecho: $\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ Ambos lados son iguales, por lo que la base es verdadera. 3. **Hipótesis de inducción:** Supongamos que para algún $k \geq 1$ se cumple: $$\sum_{i=1}^k i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$ 4. **Paso inductivo:** Demostrar que la fórmula es cierta para $k+1$: $$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \sum_{i=1}^k i^2 + (k+1)^2$$ Usando la hipótesis de inducción: $$= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$$ Factorizamos $(k+1)$: $$= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)\left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]}{6}$$ Simplificamos el término dentro del corchete: $$k(2k+1) + 6(k+1) = 2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$$ Factorizamos el trinomio: $$2k^2 + 7k + 6 = (2k+3)(k+2)$$ Por lo tanto: $$\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}$$ Reordenamos los factores para que coincida con la fórmula: $$= \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$$ Esto demuestra que la fórmula es válida para $k+1$. 5. **Conclusión:** Por el principio de inducción matemática, la fórmula es verdadera para todo $n \in \mathbb{N}^*$. **Respuesta final:** $$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$