1. Planteamos el problema: Se nos da la suma de dos números decimales periódicos $3,12\hat{7}$ y $2,21\hat{6}$ y debemos expresar su suma como una fracción irreducible $\frac{a}{b}$.\n\n2. Recordemos que un número decimal periódico se puede convertir a fracción usando la fórmula:\n$$\text{Número} = \frac{\text{Parte entera y decimal sin periodo} - \text{Parte entera y decimal sin periodo y sin periodo repetido}}{\underbrace{99\ldots9}_{\text{número de dígitos del periodo}} \times 10^{m}}$$\ndonde $m$ es la cantidad de dígitos no periódicos después de la coma.\n\n3. Convertimos $3,12\hat{7}$ a fracción:\n- Parte no periódica: 12 (dos dígitos)\n- Periodo: 7 (un dígito)\n- Numerador: $312 - 31 = 281$\n- Denominador: $990$ (porque un dígito de periodo y dos dígitos no periódicos)\nEntonces:\n$$3,12\hat{7} = \frac{281}{90}$$\n\n4. Convertimos $2,21\hat{6}$ a fracción:\n- Parte no periódica: 21 (dos dígitos)\n- Periodo: 6 (un dígito)\n- Numerador: $216 - 21 = 195$\n- Denominador: $90$\nEntonces:\n$$2,21\hat{6} = \frac{195}{90}$$\n\n5. Sumamos las fracciones:\n$$\frac{281}{90} + \frac{195}{90} = \frac{281 + 195}{90} = \frac{476}{90}$$\n\n6. Simplificamos la fracción $\frac{476}{90}$:\n- Calculamos el máximo común divisor (MCD) de 476 y 90 que es 2.\n- Simplificamos:\n$$\frac{\cancel{2} \times 238}{\cancel{2} \times 45} = \frac{238}{45}$$\n\n7. Resultado final:\n$$\frac{a}{b} = \frac{238}{45}$$