1. Planteamos el problema: Dada la secuencia de igualdades $$1 + \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2}$$ $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4}$$ $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 2 - \frac{1}{8}$$ Queremos inducir una ley general para la suma de la serie geométrica y demostrarla por inducción matemática. 2. Observamos que la suma parcial de los primeros $n$ términos es: $$S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}$$ La ley general que se induce es: $$S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$$ 3. Demostración por inducción matemática: **Base de inducción:** Para $n=1$, $$S_1 = 1$$ $$2 - \frac{1}{2^{1-1}} = 2 - \frac{1}{2^0} = 2 - 1 = 1$$ La igualdad se cumple. 4. **Hipótesis de inducción:** Supongamos que para algún $k \geq 1$ se cumple: $$S_k = 2 - \frac{1}{2^{k-1}}$$ 5. **Paso inductivo:** Demostrar que se cumple para $k+1$: $$S_{k+1} = S_k + \frac{1}{2^k}$$ Usando la hipótesis: $$S_{k+1} = 2 - \frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^k}$$ Para sumar los términos con potencias de 2, escribimos con denominador común: $$2 - \frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^k} = 2 - \frac{2}{2^k} + \frac{1}{2^k} = 2 - \frac{2 - 1}{2^k} = 2 - \frac{1}{2^k}$$ 6. Por lo tanto, $$S_{k+1} = 2 - \frac{1}{2^k}$$ que es la fórmula para $n = k+1$. 7. Concluimos que por inducción matemática la fórmula $$S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$$ es verdadera para todo entero $n \geq 1$. **Respuesta final:** La suma de la serie geométrica dada es $$\boxed{S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}}$$