1. **Demostrar que para todo número natural $n$ se satisface que:** **a) $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$** - Esta es la fórmula para la suma de los primeros $n$ números naturales. - Se puede demostrar por inducción matemática. **Demostración por inducción:** - Caso base: Para $n=1$, $\sum_{i=1}^1 i = 1$ y $\frac{1(1+1)}{2} = 1$, se cumple. - Supongamos que para un $k$ cualquiera se cumple: $$\sum_{i=1}^k i = \frac{k(k+1)}{2}$$ - Entonces para $k+1$: $$\sum_{i=1}^{k+1} i = \sum_{i=1}^k i + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$$ - Factorizamos: $$= \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ - Esto es justo la fórmula con $n = k+1$, por lo que se cumple para todo $n$. 2. **Usando la parte a), obtener fórmulas para las siguientes sumas:** **a) $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$** - Esta suma es la suma de los primeros $n$ números impares. - Sabemos que el $i$-ésimo número impar es $2i - 1$. - Entonces: $$\sum_{i=1}^n (2i - 1) = 2\sum_{i=1}^n i - \sum_{i=1}^n 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2$$ **Respuesta:** $$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$$ **b) $2 + 8 + 14 + \cdots + (6n - 4)$** - Esta es una progresión aritmética con primer término $a_1 = 2$ y diferencia común $d = 6$. - El término general es $a_i = 6i - 4$. - La suma de los primeros $n$ términos es: $$S_n = \sum_{i=1}^n (6i - 4) = 6\sum_{i=1}^n i - 4n = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 4n = 3n(n+1) - 4n = 3n^2 + 3n - 4n = 3n^2 - n$$ **Respuesta:** $$2 + 8 + 14 + \cdots + (6n - 4) = 3n^2 - n$$ **c) La suma de los $n$ primeros números de la sucesión $3, 8, 13, \ldots$** - Esta es una progresión aritmética con $a_1 = 3$ y diferencia $d = 5$. - El término general es $a_i = 3 + (i-1)5 = 5i - 2$. - La suma de los primeros $n$ términos es: $$S_n = \sum_{i=1}^n (5i - 2) = 5\sum_{i=1}^n i - 2n = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{5n(n+1)}{2} - 2n = \frac{5n^2 + 5n - 4n}{2} = \frac{5n^2 + n}{2}$$ **Respuesta:** $$3 + 8 + 13 + \cdots = \frac{5n^2 + n}{2}$$