1. Planteamos el problema: Dos obreros trabajando juntos pueden labrar una tierra en 18 días. 2. Definamos variables: - Sea $x$ el tiempo que tarda el obrero más rápido en labrar la tierra solo (en días). - Sea $y$ el tiempo que tarda el obrero más lento en labrar la tierra solo (en días). 3. Según el problema, uno tarda 15 días más que el otro, entonces: $$y = x + 15$$ 4. La tasa de trabajo de cada obrero es el recíproco del tiempo que tarda en labrar la tierra: - Tasa del obrero rápido: $\frac{1}{x}$ (tierra por día) - Tasa del obrero lento: $\frac{1}{y}$ (tierra por día) 5. Trabajando juntos, su tasa combinada es: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18}$$ 6. Sustituimos $y$ en la ecuación: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+15} = \frac{1}{18}$$ 7. Multiplicamos ambos lados por $18x(x+15)$ para eliminar denominadores: $$18(x+15) + 18x = x(x+15)$$ 8. Expandimos y simplificamos: $$18x + 270 + 18x = x^2 + 15x$$ $$36x + 270 = x^2 + 15x$$ 9. Pasamos todos los términos a un lado para formar una ecuación cuadrática: $$0 = x^2 + 15x - 36x - 270$$ $$0 = x^2 - 21x - 270$$ 10. Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Donde $a=1$, $b=-21$, $c=-270$. 11. Calculamos el discriminante: $$\Delta = (-21)^2 - 4(1)(-270) = 441 + 1080 = 1521$$ 12. Calculamos las raíces: $$x = \frac{21 \pm \sqrt{1521}}{2} = \frac{21 \pm 39}{2}$$ 13. Dos soluciones: - $$x = \frac{21 + 39}{2} = \frac{60}{2} = 30$$ - $$x = \frac{21 - 39}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ (no válida porque el tiempo no puede ser negativo) 14. Por lo tanto, el obrero más rápido tarda $30$ días y el más lento: $$y = x + 15 = 30 + 15 = 45$$ días. 15. Respuesta final: El obrero más rápido labra la tierra en 30 días y el más lento en 45 días.