1. El problema es demostrar que la ecuación $$x^{7} + 3x + 3 = 0$$ tiene una única raíz usando el teorema de Rolle. 2. El teorema de Rolle dice que si una función $$f$$ es continua en un intervalo cerrado $$[a,b]$$, derivable en el intervalo abierto $$(a,b)$$, y $$f(a) = f(b)$$, entonces existe al menos un punto $$c \, \in (a,b)$$ tal que $$f'(c) = 0$$. 3. Para aplicar el teorema de Rolle y demostrar unicidad de raíz, primero definimos $$f(x) = x^{7} + 3x + 3$$. 4. Calculamos la derivada: $$f'(x) = 7x^{6} + 3$$ 5. Observamos que $$7x^{6} \geq 0$$ para todo $$x$$ y $$3 > 0$$, por lo que $$f'(x) = 7x^{6} + 3 > 0$$ para todo $$x$$. 6. Esto implica que $$f(x)$$ es estrictamente creciente en todo $$\mathbb{R}$$. 7. Una función estrictamente creciente puede tener a lo sumo una raíz, porque si tuviera dos raíces $$a < b$$, entonces $$f(a) = f(b) = 0$$ y por el teorema de Rolle existiría un $$c \in (a,b)$$ con $$f'(c) = 0$$, lo cual es falso. 8. Por lo tanto, $$f(x) = 0$$ tiene una única raíz. 9. Finalmente, verificamos que existe al menos una raíz porque $$f(-1) = (-1)^7 + 3(-1) + 3 = -1 - 3 + 3 = -1 < 0$$ y $$f(0) = 0 + 0 + 3 = 3 > 0$$, por el teorema del valor intermedio, hay una raíz entre $$-1$$ y $$0$$. Respuesta final: La ecuación $$x^{7} + 3x + 3 = 0$$ tiene una única raíz real.