1. Planteamos el problema: Tenemos la ecuación cuadrática $x^2 - 4x + 5 = 0$ y queremos calcular el valor reducido de $$E = \sqrt{(x-5)(x-2)^2(x+1)} + 6$$ para las soluciones de la ecuación. 2. Primero, encontramos las raíces de la ecuación cuadrática usando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Donde $a=1$, $b=-4$, $c=5$. 3. Calculamos el discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$$ 4. Como el discriminante es negativo, las raíces son complejas: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$$ 5. Evaluamos $E$ para $x = 2 + i$ (el procedimiento es análogo para $2 - i$): Calculamos cada factor: - $x - 5 = (2 + i) - 5 = -3 + i$ - $x - 2 = (2 + i) - 2 = i$ - $(x - 2)^2 = i^2 = -1$ - $x + 1 = (2 + i) + 1 = 3 + i$ 6. Multiplicamos los factores dentro de la raíz: $$(x-5)(x-2)^2(x+1) = (-3 + i)(-1)(3 + i) = (-3 + i)(-1)(3 + i)$$ Primero multiplicamos $(-3 + i)(3 + i)$: $$(-3)(3) + (-3)(i) + i(3) + i(i) = -9 - 3i + 3i + i^2 = -9 + 0 - 1 = -10$$ Luego multiplicamos por $-1$: $$-1 \times (-10) = 10$$ 7. Por lo tanto: $$E = \sqrt{10} + 6$$ 8. El valor reducido de $E$ para las soluciones de la ecuación es: $$\boxed{6 + \sqrt{10}}$$