1. Planteamos el problema: Encontrar los valores de $a$ y $b$ tales que al dividir el polinomio $$P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + ax + b$$ entre $$x^2 - 2x + 3$$ el resto sea $$-7x + 8$$. 2. Recordemos que al dividir un polinomio $$P(x)$$ por otro polinomio $$D(x)$$, el resto $$R(x)$$ tiene grado menor que el divisor. Aquí, el divisor es de grado 2, por lo que el resto debe ser de grado menor que 2, es decir, de la forma $$cx + d$$. 3. Usamos la identidad de la división: $$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$, donde $$Q(x)$$ es el cociente y $$R(x) = -7x + 8$$. 4. Sea $$Q(x) = x^2 + px + q$$ (grado 2 porque $$P$$ es grado 4 y $$D$$ grado 2). 5. Multiplicamos $$Q(x) \cdot D(x)$$: $$$$(x^2 + px + q)(x^2 - 2x + 3) = x^4 + (p - 2)x^3 + (q - 2p + 3)x^2 + (-2q + 3p)x + 3q$$$ 6. Sumamos el resto $$R(x) = -7x + 8$$: $$$$(x^4 + (p - 2)x^3 + (q - 2p + 3)x^2 + (-2q + 3p)x + 3q) + (-7x + 8) = x^4 + (p - 2)x^3 + (q - 2p + 3)x^2 + (-2q + 3p - 7)x + (3q + 8)$$$ 7. Igualamos coeficientes con $$P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + ax + b$$: - Coeficiente de $$x^4$$: $$1 = 1$$ (coincide) - Coeficiente de $$x^3$$: $$p - 2 = -3 \Rightarrow p = -1$$ - Coeficiente de $$x^2$$: $$q - 2p + 3 = 2 \Rightarrow q - 2(-1) + 3 = 2 \Rightarrow q + 2 + 3 = 2 \Rightarrow q + 5 = 2 \Rightarrow q = -3$$ - Coeficiente de $$x$$: $$-2q + 3p - 7 = a \Rightarrow -2(-3) + 3(-1) - 7 = a \Rightarrow 6 - 3 - 7 = a \Rightarrow -4 = a$$ - Término independiente: $$3q + 8 = b \Rightarrow 3(-3) + 8 = b \Rightarrow -9 + 8 = b \Rightarrow -1 = b$$ 8. Por lo tanto, los valores son $$a = -4$$ y $$b = -1$$.