1. Vamos resolver o problema 10.1: Determinar o valor de $k$ sabendo que o resto da divisão do polinómio $C(x) = kx^2 - 2x - 2k$ por $x$ é $-1$. 2. Quando dividimos um polinómio por $x$, o resto é o valor do polinómio em $x=0$, ou seja, $C(0)$. 3. Calculamos $C(0)$: $$C(0) = k \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 2k = -2k$$ 4. Sabemos que o resto é $-1$, então: $$-2k = -1$$ 5. Resolvendo para $k$: $$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ 6. Portanto, o valor de $k$ é $\frac{1}{2}$. --- 1. Agora, resolvemos o problema 10.2: Determinar o valor de $k$ sabendo que o polinómio $D(x) = 3x^3 - k^2 x^2 - 2kx$ é divisível por $x - 1$. 2. Se $D(x)$ é divisível por $x - 1$, então $x=1$ é raiz do polinómio, ou seja, $D(1) = 0$. 3. Calculamos $D(1)$: $$D(1) = 3 \cdot 1^3 - k^2 \cdot 1^2 - 2k \cdot 1 = 3 - k^2 - 2k$$ 4. Igualamos a zero: $$3 - k^2 - 2k = 0$$ 5. Rearranjando: $$-k^2 - 2k + 3 = 0$$ $$k^2 + 2k - 3 = 0$$ 6. Resolvemos a equação quadrática: $$k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}$$ 7. Calculando as raízes: $$k = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ 8. Assim, temos duas soluções: - $$k = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ - $$k = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ 9. Portanto, os valores de $k$ são $1$ e $-3$. --- **Resposta final:** - Para 10.1: $k = \frac{1}{2}$ - Para 10.2: $k = 1$ ou $k = -3$