Valores K 41E075

1. **Planteamiento del problema:** Determinar los valores de $k$ para que el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} 2x - y + kz = 1 \\ -x + y - kz = 0 \\ 2x - y + 2kz = -1 \end{cases}$$ sea compatible determinado, es decir, que tenga una única solución. 2. **Regla para sistemas compatibles determinados:** Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. 3. **Matriz de coeficientes:** $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & k \\ -1 & 1 & -k \\ 2 & -1 & 2k \end{pmatrix}$$ 4. **Calcular el determinante de $A$: $$\det(A)$$:** $$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} 1 & -k \\ -1 & 2k \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -1 & -k \\ 2 & 2k \end{vmatrix} + k \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$ 5. **Calcular cada menor:** $$\begin{vmatrix} 1 & -k \\ -1 & 2k \end{vmatrix} = (1)(2k) - (-1)(-k) = 2k - k = k$$ $$\begin{vmatrix} -1 & -k \\ 2 & 2k \end{vmatrix} = (-1)(2k) - (2)(-k) = -2k + 2k = 0$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1$$ 6. **Sustituir en el determinante:** $$\det(A) = 2(k) - (-1)(0) + k(-1) = 2k + 0 - k = k$$ 7. **Condición para sistema compatible determinado:** $$\det(A) \neq 0 \implies k \neq 0$$ **Respuesta:** El sistema es compatible determinado para todos los valores de $k$ tales que $$k \neq 0$$.