1. **Planteamiento del problema:** Dado los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 4)$, se pide calcular: - $\vec{u} + \vec{v}$ - $2\vec{u} - \vec{v}$ - El módulo de $\vec{u}$ - Un vector unitario en la dirección de $\vec{u}$ 2. **Suma de vectores:** La suma de dos vectores se realiza sumando componente a componente: $$\vec{u} + \vec{v} = (3 + (-1), -2 + 4)$$ $$= (3 - 1, -2 + 4)$$ $$= (2, 2)$$ 3. **Multiplicación por escalar y resta de vectores:** Primero calculamos $2\vec{u}$: $$2\vec{u} = 2(3, -2) = (2 \times 3, 2 \times -2) = (6, -4)$$ Luego restamos $\vec{v}$: $$2\vec{u} - \vec{v} = (6, -4) - (-1, 4) = (6 - (-1), -4 - 4)$$ $$= (6 + 1, -4 - 4) = (7, -8)$$ 4. **Cálculo del módulo de $\vec{u}$:** El módulo o norma de un vector $\vec{u} = (x, y)$ se calcula con la fórmula: $$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Aplicando: $$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$ 5. **Vector unitario en la dirección de $\vec{u}$:** Un vector unitario tiene módulo 1 y se obtiene dividiendo cada componente del vector original por su módulo: $$\vec{u}_{unitario} = \left( \frac{3}{|\vec{u}|}, \frac{-2}{|\vec{u}|} \right) = \left( \frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{-2}{\sqrt{13}} \right)$$ 6. **Simplificación mostrando cancelación:** $$\vec{u}_{unitario} = \left( \frac{3}{\cancel{\sqrt{13}}}, \frac{-2}{\cancel{\sqrt{13}}} \right)$$ **Respuesta final:** - $\vec{u} + \vec{v} = (2, 2)$ - $2\vec{u} - \vec{v} = (7, -8)$ - $|\vec{u}| = \sqrt{13}$ - Vector unitario en dirección de $\vec{u}$: $\left( \frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{-2}{\sqrt{13}} \right)$