1. **Problema:** Dados los vectores $\vec{u} = (1,4)$ y $\vec{v} = (-2,-6)$, calcular las operaciones vectoriales solicitadas. 2. **Fórmulas y reglas:** - Suma de vectores: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$ - Multiplicación por escalar: $k \vec{a} = (k a_1, k a_2)$ - Resta de vectores: $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$ - Para encontrar $\vec{x}$ tal que $\vec{u} + \vec{x} = \vec{v}$, despejamos $\vec{x} = \vec{v} - \vec{u}$ - Módulo de un vector: $\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ - Producto escalar: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$ 3. **Cálculos:** **a) $\vec{u} + \vec{v}$:** $$\vec{u} + \vec{v} = (1 + (-2), 4 + (-6)) = (-1, -2)$$ **b) $5 \vec{u}$:** $$5 \vec{u} = (5 \times 1, 5 \times 4) = (5, 20)$$ **c) $2 \vec{u} - \frac{3}{2} \vec{v}$:** $$2 \vec{u} = (2 \times 1, 2 \times 4) = (2, 8)$$ $$\frac{3}{2} \vec{v} = \left(\frac{3}{2} \times (-2), \frac{3}{2} \times (-6)\right) = (-3, -9)$$ $$2 \vec{u} - \frac{3}{2} \vec{v} = (2 - (-3), 8 - (-9)) = (2 + 3, 8 + 9) = (5, 17)$$ **d) $-3 \vec{u} + \vec{v}$:** $$-3 \vec{u} = (-3 \times 1, -3 \times 4) = (-3, -12)$$ $$-3 \vec{u} + \vec{v} = (-3 + (-2), -12 + (-6)) = (-5, -18)$$ 4. **Calcular $\vec{x}$ tal que $\vec{u} + \vec{x} = \vec{v}$ con $\vec{u} = (2,2)$ y $\vec{v} = (0,6)$:** $$\vec{x} = \vec{v} - \vec{u} = (0 - 2, 6 - 2) = (-2, 4)$$ 5. **Calcular módulo de vectores:** **a) $\vec{u} = (-1,5)$:** $$\|\vec{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$ **b) $\vec{v} = (2,-3)$:** $$\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ **c) $\vec{w} = (-1,-2)$:** $$\|\vec{w}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$ 6. **Calcular productos escalares:** **a) $(-2,4) \cdot (3,3)$:** $$(-2) \times 3 + 4 \times 3 = -6 + 12 = 6$$ **b) $(-2,2) \cdot (3,3)$:** $$(-2) \times 3 + 2 \times 3 = -6 + 6 = 0$$ **c) $(-2,3) \cdot (0,-3)$:** $$(-2) \times 0 + 3 \times (-3) = 0 - 9 = -9$$