1. Planteamos el problema: Determinar los valores de $h$ y $k$ para que los vectores $\vec{a} = (4, 5, -2)$ y $\vec{b} = (2h - k, h + 3, 4)$ sean paralelos. 2. Regla importante: Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro, es decir, existe un escalar $\lambda$ tal que: $$\vec{b} = \lambda \vec{a}$$ 3. Esto implica que cada componente cumple: $$2h - k = 4\lambda$$ $$h + 3 = 5\lambda$$ $$4 = -2\lambda$$ 4. De la tercera ecuación despejamos $\lambda$: $$4 = -2\lambda \implies \lambda = \frac{4}{-2} = -2$$ 5. Sustituimos $\lambda = -2$ en las dos primeras ecuaciones: $$2h - k = 4(-2) = -8$$ $$h + 3 = 5(-2) = -10$$ 6. De la segunda ecuación despejamos $h$: $$h = -10 - 3 = -13$$ 7. Sustituimos $h = -13$ en la primera ecuación para encontrar $k$: $$2(-13) - k = -8$$ $$-26 - k = -8$$ $$-k = -8 + 26 = 18$$ $$k = -18$$ 8. Por lo tanto, los valores que hacen paralelos a $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son: $$h = -13, \quad k = -18$$