1. **Planteamiento del problema:** Se nos dan varias funciones $f(x)$ y se nos pide verificar que $F_1=0$ y luego encontrar $P(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$. 2. **Interpretación:** Parece que $F_1$ es el valor de $f(1)$ para cada función y debemos verificar que sea 0. Luego, se nos da una función $P(x)$ que es $\frac{1}{4}x^2 + 1$. 3. **Verificación de $F_1=0$ para cada función:** Para cada función, calculamos $f(1)$ y verificamos si es 0. - a) $f(x) = \frac{3x^2 + x - 6}{12}$ $$f(1) = \frac{3(1)^2 + 1 - 6}{12} = \frac{3 + 1 - 6}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \neq 0$$ - b) $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{2}$ $$f(1) = \frac{2(1)^2 + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \neq 0$$ - c) $f(x) = \frac{x^2 + 6x + 12}{2}$ $$f(1) = \frac{1 + 6 + 12}{2} = \frac{19}{2} \neq 0$$ - d) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 16}{2}$ $$f(1) = \frac{1 + 4 + 16}{2} = \frac{21}{2} \neq 0$$ - e) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 10}{5}$ $$f(1) = \frac{1 - 3 + 10}{5} = \frac{8}{5} \neq 0$$ Ninguna de las funciones dadas satisface $F_1 = f(1) = 0$. 4. **Revisión de las funciones alternativas dadas:** Se dan otras funciones para cada letra: 1) a) $f(x) = \frac{x}{12}$ $$f(1) = \frac{1}{12} \neq 0$$ 2) b) $f(x) = \frac{x^2}{3}$ $$f(1) = \frac{1}{3} \neq 0$$ 3) c) $f(x) = \frac{x^2}{3}$ $$f(1) = \frac{1}{3} \neq 0$$ 4) d) $f(x) = \frac{x^2}{4}$ $$f(1) = \frac{1}{4} \neq 0$$ 5) e) $f(x) = \frac{x^2}{5}$ $$f(1) = \frac{1}{5} \neq 0$$ Tampoco estas funciones satisfacen $F_1=0$. 5. **Conclusión:** Ninguna de las funciones dadas cumple $F_1 = 0$. 6. **Sobre $P(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$:** Esta función está dada y no depende de las anteriores. Su valor en $x=1$ es: $$P(1) = \frac{1}{4}(1)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$$ No hay más instrucciones para $P(x)$. **Respuesta final:** Ninguna función $f(x)$ dada satisface $F_1=0$. La función $P(x)$ es $\frac{1}{4}x^2 + 1$.