1. Planteamos el problema: Encontrar el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola dada por la función $$y = -2x^2 - 2x + 4$$. 2. Fórmula para el vértice de una parábola $$y = ax^2 + bx + c$$: El vértice tiene coordenadas $$\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$. 3. Calculamos la coordenada $$x$$ del vértice: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times -2} = -\frac{-2}{-4} = -\frac{1}{2} = -0.5$$ 4. Calculamos la coordenada $$y$$ del vértice evaluando $$y$$ en $$x = -0.5$$: $$y_v = -2(-0.5)^2 - 2(-0.5) + 4 = -2(0.25) + 1 + 4 = -0.5 + 1 + 4 = 4.5$$ 5. Por lo tanto, el vértice es $$(-0.5, 4.5)$$. 6. Para encontrar los puntos de corte con el eje $$y$$, evaluamos $$y$$ en $$x=0$$: $$y = -2(0)^2 - 2(0) + 4 = 4$$ El punto de corte con el eje $$y$$ es $$(0,4)$$. 7. Para encontrar los puntos de corte con el eje $$x$$, igualamos $$y=0$$ y resolvemos: $$0 = -2x^2 - 2x + 4$$ Dividimos toda la ecuación entre $$-2$$ para simplificar: $$0 = \cancel{-2}x^2 + \cancel{-2}x - \cancel{4} \Rightarrow 0 = x^2 + x - 2$$ 8. Factorizamos la ecuación cuadrática: $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0$$ 9. Igualamos cada factor a cero para encontrar las raíces: $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ 10. Los puntos de corte con el eje $$x$$ son $$(-2, 0)$$ y $$(1, 0)$$. 11. Con estos datos, el vértice en $$(-0.5, 4.5)$$ y los puntos de corte con los ejes, podemos esbozar la gráfica de la parábola que abre hacia abajo (porque $$a = -2 < 0$$).