1. Enunciado do problema: Dado os vetores $$\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}$$ e $$\vec{v} = a\vec{i} + 2b\vec{j} + 2\vec{k}$$, determine os valores de $$a$$ e $$b$$ para que $$\vec{u}$$ e $$\vec{v}$$ sejam ortogonais. 2. Regra importante: Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero. 3. Produto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$ 4. Calculando o produto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(a) + (-3)(2b) + (2)(2) = 2a - 6b + 4$$ 5. Igualando a zero para ortogonalidade: $$2a - 6b + 4 = 0$$ 6. Simplificando a equação: $$\cancel{2}a - \cancel{6}b + 4 = 0 \Rightarrow a - 3b + 2 = 0$$ 7. Isolando $$a$$: $$a = 3b - 2$$ Resposta final: Os valores de $$a$$ e $$b$$ que tornam $$\vec{u}$$ e $$\vec{v}$$ ortogonais satisfazem a relação $$a = 3b - 2$$.