1. El Wronskiano $W(x)$ de un conjunto de funciones es una herramienta que nos ayuda a determinar si esas funciones son linealmente independientes o dependientes. 2. Para las funciones $e^x$, $e^{-x}$ y $e^{2x}$, calculamos el Wronskiano y obtenemos: $$W(x) = -6e^{2x}$$ 3. Observamos que $W(x) \neq 0$ para todo $x$ porque $e^{2x}$ nunca es cero y $-6$ es una constante distinta de cero. 4. Esto significa que las funciones son linealmente independientes en todo el dominio real. 5. En términos simples, el Wronskiano nos dice que estas funciones no pueden escribirse una como combinación lineal de las otras en ningún punto del eje $x$. 6. Por lo tanto, el momento en que $W(x) \neq 0$ es siempre, y eso confirma la independencia lineal de las funciones para todo $x$. 7. En resumen, si el Wronskiano es diferente de cero en algún intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo. 8. En este caso, como $W(x) = -6e^{2x} \neq 0$ para todo $x$, las funciones son linealmente independientes en todo el eje real.