1. **Πρόβλημα:** Να βρούμε για ποια τιμή του $h$ ο πίνακας $$\begin{bmatrix}1 & h & 4 \\ 3 & 6 & 8\end{bmatrix}$$ είναι ο επαυξημένος πίνακας ενός μη συμβιβαστού συστήματος. 2. **Εξήγηση:** Ένα σύστημα είναι μη συμβιβαστό όταν οι εξισώσεις του είναι ασύμβατες, δηλαδή όταν οι γραμμές του πίνακα των συντελεστών είναι γραμμικά εξαρτημένες αλλά οι αντίστοιχες τιμές στη στήλη των σταθερών δεν είναι. 3. **Πίνακας συντελεστών και σταθερών:** $$A = \begin{bmatrix}1 & h \\ 3 & 6\end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix}4 \\ 8\end{bmatrix}$$ 4. **Έλεγχος γραμμικής εξάρτησης:** Οι δύο γραμμές του $A$ είναι ανάλογες αν υπάρχει $k$ τέτοιο ώστε: $$3 = k \cdot 1 \Rightarrow k=3$$ και $$6 = k \cdot h \Rightarrow 6 = 3h \Rightarrow h = 2$$ 5. **Έλεγχος συμβατότητας:** Για $h=2$, ελέγχουμε αν οι σταθερές είναι ανάλογες με τον ίδιο $k=3$: $$8 = k \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$$ Αυτό δεν ισχύει, άρα το σύστημα είναι μη συμβιβαστό για $h=2$. 6. **Συμπέρασμα:** Το σύστημα είναι μη συμβιβαστό μόνο για $\boxed{h=2}$.