📘 γραμμική άλγεβρα

1. **Πρόβλημα:** Να βρούμε για ποια τιμή του $h$ ο πίνακας $$\begin{bmatrix}1 & h & 4 \\ 3 & 6 & 8\end{bmatrix}$$

1. **Δήλωση του προβλήματος:** Εξετάζουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

1. **Δήλωση του προβλήματος:** Να βρούμε για ποιες τιμές των παραμέτρων $h$ και $k$ το σύστημα γραμμικών εξισώσεων $$\begin{cases} 2x_1 - x_2 = h \\ -6x_1 + 3x_2 = k \end{cases}$$

1. Δίνεται ότι τα διανύσματα $\alpha$ και $\beta$ έχουν μέτρα $|\alpha|=2$ και $|\beta|=1$ και η γωνία μεταξύ τους είναι $\frac{2\pi}{3}$. Πρέπει να βρούμε το εσωτερικό τους γινόμε

1. Δίνεται το διάνυσμα $\mathbf{v}$ με $|\mathbf{v}|=2$ και γωνία $2\pi$. 2. α) Να βρούμε το εσωτερικό διάνυσμα $3\mathbf{v}$.

1. Το πρόβλημα ζητά να βρούμε όλες τις προσημασμένες ελάσσονες (signed minors) στην μέθοδο αντιστρόφου πίνακα. 2. Η μέθοδος αντιστρόφου πίνακα βασίζεται στον υπολογισμό των συμπληρ

1. Το πρόβλημα ζητά να βρούμε μια σίγουρη ιδιοτιμή του πίνακα $B=5A+4I$, γνωρίζοντας ότι ο πίνακας $A$ έχει ιδιοτιμή $5$. 2. Θυμόμαστε ότι αν $\lambda$ είναι ιδιοτιμή του $A$ με ιδ

1. \textbf{Δήλωση του προβλήματος:} Έχουμε δύο διανύσματα $x, y \in \mathbb{R}^n$ που διαφέρουν πολύ μόνο σε 3 συνιστώσες, ενώ στις υπόλοιπες $n-3$ συνιστώσες είναι σχεδόν ίσα. 2.

1. Το πρόβλημα ζητά να εξετάσουμε αν το εσωτερικό γινόμενο $\langle x,x \rangle$ οποιουδήποτε μη μηδενικού διανύσματος $x$ είναι πάντα θετικός αριθμός. 2. Ο ορισμός του εσωτερικού

1. Το πρόβλημα ζητά να εξετάσουμε τη γραμμική ανεξαρτησία ή εξάρτηση δύο διανυσμάτων $x,y$ με Ευκλείδιο μήκος 1, δεδομένου ότι το εσωτερικό γινόμενο τους είναι $-1$. 2. Θυμόμαστε ό

1. Το πρόβλημα: Να εξετάσουμε αν κάθε τετραγωνικός πίνακας με θετικά διαγώνια στοιχεία έχει αντίστροφο. 2. Ορισμοί και βασικές έννοιες: