1. **Δήλωση του προβλήματος:** Εξετάζουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων: $$\begin{cases} 2x_1 - x_2 = h \\ -6x_1 + 3x_2 = k \end{cases}$$ και θέλουμε να βρούμε για ποιες τιμές των $h$ και $k$ το σύστημα είναι συμβιβαστό (δηλαδή έχει τουλάχιστον μία λύση). 2. **Χρήση κανόνων για συμβιβαστότητα:** Ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι συμβιβαστό αν οι εξισώσεις δεν είναι αντιφατικές. 3. **Έλεγχος αναλογίας συντελεστών:** Οι συντελεστές των $x_1$ και $x_2$ είναι: - Πρώτη εξίσωση: $2$ και $-1$ - Δεύτερη εξίσωση: $-6$ και $3$ Ελέγχουμε αν οι δύο εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες: $$\frac{-6}{2} = -3, \quad \frac{3}{-1} = -3$$ Άρα οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι με λόγο $-3$. 4. **Συνθήκη συμβιβαστότητας:** Για να είναι συμβιβαστό το σύστημα, πρέπει και οι σταθεροί όροι να έχουν τον ίδιο λόγο: $$\frac{k}{h} = -3$$ 5. **Εφαρμογή για τις δοθείσες τιμές:** - Για $h=1$ και $k=-3$: $$\frac{k}{h} = \frac{-3}{1} = -3$$ Ισχύει η συνθήκη, άρα το σύστημα είναι συμβιβαστό. - Για $h=-1$ και $k=h=-1$: $$\frac{k}{h} = \frac{-1}{-1} = 1 \neq -3$$ Άρα το σύστημα δεν είναι συμβιβαστό. - Για $h=0$: Αν $h=0$, τότε η πρώτη εξίσωση γίνεται: $$2x_1 - x_2 = 0$$ Η δεύτερη εξίσωση πρέπει να είναι: $$-6x_1 + 3x_2 = k$$ Για να είναι συμβιβαστό, πρέπει $k$ να ικανοποιεί: $$\frac{k}{h} = -3$$ Αλλά εδώ $h=0$, οπότε η αναλογία δεν ορίζεται. Άρα δεν αρκεί μόνο $h=0$. - Για $k=0$: Αν $k=0$, τότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται: $$-6x_1 + 3x_2 = 0$$ Η πρώτη εξίσωση είναι: $$2x_1 - x_2 = h$$ Για να είναι συμβιβαστό, πρέπει: $$\frac{k}{h} = -3 \Rightarrow \frac{0}{h} = -3$$ που δεν ισχύει για κανένα $h \neq 0$. **Συμπέρασμα:** Το σύστημα είναι συμβιβαστό μόνο όταν $$k = -3h$$. **Τελική απάντηση:** Για $h=1$ και $k=-3$ το σύστημα είναι συμβιβαστό.