1. **Δήλωση του προβλήματος:** Να βρούμε για ποιες τιμές των παραμέτρων $h$ και $k$ το σύστημα γραμμικών εξισώσεων $$\begin{cases} 2x_1 - x_2 = h \\ -6x_1 + 3x_2 = k \end{cases}$$ είναι συμβιβαστό, δηλαδή έχει τουλάχιστον μία λύση. 2. **Χρήση κανόνων για συμβιβαστότητα:** Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι συμβιβαστό αν οι εξισώσεις δεν είναι αντιφατικές. 3. **Παρατήρηση:** Η δεύτερη εξίσωση είναι πολλαπλάσιο της πρώτης αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με $-3$: $$-3 \times (2x_1 - x_2) = -3 \times h \Rightarrow -6x_1 + 3x_2 = -3h$$ 4. **Σύγκριση με τη δεύτερη εξίσωση:** Για να είναι το σύστημα συμβιβαστό, πρέπει το δεξιό μέλος της δεύτερης εξίσωσης να είναι ίσο με το δεξιό μέλος του πολλαπλασιασμένου πρώτου: $$k = -3h$$ 5. **Συμπέρασμα:** Το σύστημα είναι συμβιβαστό αν και μόνο αν ισχύει $$k = -3h$$ 6. **Έλεγχος επιλογών:** - Για $h=1$ και $k=-3$: $k = -3h$ ισχύει, άρα συμβιβαστό. - Για $h=-1$ και $k=h=-1$: $k = -1$ αλλά $-3h = 3$, άρα δεν ισχύει, άρα όχι συμβιβαστό. - Αρκεί να ισχύει $h=0$: τότε $k$ πρέπει να είναι $0$ για να ισχύει $k=-3h$, άρα όχι αρκετό. - Αρκεί να ισχύει $k=0$: τότε $h$ πρέπει να είναι $0$, άρα όχι αρκετό. **Τελική απάντηση:** Το σύστημα είναι συμβιβαστό όταν $$k = -3h$$.