1. נניח כי $A$ היא קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, חסומה מלעיל, ושהסופרמום שלה $s = \sup A$ אינו שייך ל-$A$. 2. לפי הגדרת סופרמום, $s$ הוא הקטן ביותר מבין כל הגבולות העליונים של $A$. כלומר, לכל $\varepsilon > 0$ קיים $a \in A$ כך ש-$s - \varepsilon < a \leq s$. 3. נרצה לבנות סדרה $(a_n)$ כך שכל איבריה שייכים ל-$A$, הסדרה מונוטונית עולה, ו-$\lim_{n \to \infty} a_n = s$. 4. נגדיר עבור כל $n \in \mathbb{N}$ את $\varepsilon_n = \frac{1}{n}$. 5. לפי הגדרת סופרמום, עבור כל $n$ קיים $a_n \in A$ כך ש $$ s - \varepsilon_n < a_n \leq s $$ כלומר $$ s - \frac{1}{n} < a_n \leq s $$ 6. כעת נגדיר את הסדרה $(a_n)$ כך שכל $a_n$ הוא איבר כזה. 7. הסדרה $(a_n)$ מונוטונית עולה כי $$ a_n > s - \frac{1}{n+1} > s - \frac{1}{n} < a_{n+1} $$ ולכן ניתן לבחור $a_{n+1} \geq a_n$ (אם לא, ניתן לבחור מחדש את $a_{n+1}$ כך שיהיה גדול או שווה ל-$a_n$ כי יש אינסוף איברים קרובים ל-$s$). 8. הסדרה $(a_n)$ שואפת ל-$s$ כי $$ \lim_{n \to \infty} a_n = s $$ כי $$ |a_n - s| < \frac{1}{n} \to 0 $$ 9. לכן, בנינו סדרה מונוטונית עולה שכל איבריה ב-$A$ ושואפת לסופרמום $s$. \textbf{סיכום:} הראינו כי אם $A$ חסומה מלעיל, סופרמום $s$ שלה לא שייך ל-$A$, אז קיימת סדרה מונוטונית עולה $(a_n)$ עם $a_n \in A$ לכל $n$ כך ש-$\lim a_n = s$.