1. **مقدمة للمشكلة:** سننشئ تمرينًا شاملًا في الهندسة التحليلية للسنة الأولى ثانوي في الجزائر. 2. **المشكلة:** لدينا نقطتان في المستوى الإحداثي: $A(2,3)$ و $B(5,7)$. المطلوب: أ) إيجاد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين. ب) حساب طول القطعة المستقيمة $AB$. 3. **صيغة معادلة المستقيم:** معادلة المستقيم الذي يمر بنقطتين $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$ تعطى بالعلاقة: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ حيث الميل $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. 4. **حساب الميل:** $$m = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \frac{4}{3}$$ 5. **كتابة معادلة المستقيم:** باستخدام نقطة $A(2,3)$: $$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)$$ بتوزيع: $$y - 3 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$$ نجمع 3 للطرفين: $$y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 3$$ نكتب 3 ككسر: $$3 = \frac{9}{3}$$ إذن: $$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$$ 6. **حساب طول القطعة المستقيمة $AB$:** باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ بالتعويض: $$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 7. **النتيجة النهائية:** - معادلة المستقيم: $$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$$ - طول القطعة المستقيمة $AB$ هو 5 وحدات. هذا التمرين يغطي مفاهيم الميل، معادلة المستقيم، وحساب المسافة بين نقطتين في الهندسة التحليلية.