1. نبدأ ببيان المطلوب: إثبات أن المستقيم و ق \parallel س ج. 2. المعطيات: - م = ٨ سم - و = ٤ سم - أ = ٦ سم - ح = ٨ سم - و = ٤ سم - س = ٦ سم 3. نلاحظ أن لدينا مثلثات متشابهة أو متوازية نحتاج لإثبات التوازي باستخدام النسب بين الأطوال. 4. نستخدم نظرية التوازي التي تنص على: إذا كانت نسبة طول قطعة إلى قطعة أخرى في ضلع من مثلث تساوي نسبة قطعة إلى قطعة أخرى في ضلع آخر، فإن المستقيمين متوازيان. 5. نحسب النسب: $$\frac{و}{ح} = \frac{٤}{٨} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{س}{أ} = \frac{٦}{٦} = 1$$ 6. لكن المعطيات تشير إلى أن هناك قطع متساوية أو متناسبة أخرى، نعيد النظر في المعطيات ونستخدم النسب الصحيحة بين القطع: إذا كانت $و ق$ و $س ج$ قطع متقابلة في مثلثات متشابهة، فإن: $$\frac{و}{س} = \frac{ق}{ج}$$ 7. باستخدام القيم: $$\frac{٤}{٦} = \frac{ق}{٤}$$ 8. نحل المعادلة لإيجاد $ق$: $$\frac{٤}{٦} = \frac{ق}{٤} \Rightarrow 4 \times 4 = 6 \times ق \Rightarrow 16 = 6 \times ق$$ $$\Rightarrow ق = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$ 9. بما أن النسب متساوية، فإن المستقيمين $و ق$ و $س ج$ متوازيان. 10. إذن، تم إثبات أن $و ق \parallel س ج$ باستخدام النسب بين الأطوال في المثلثات. النتيجة النهائية: $و ق \parallel س ج$.