1. المسألة: في الشكل الأول دائرة مركزها م ووترها دس ونصف القطر ق = 6 سم. المطلوب حساب مساحة المنطقة المظللة (القطعة الدائرية) بين الوتر والقوس. 2. القاعدة والصيغة المستخدمة: مساحة القطعة تساوي مساحة القطاع ناقص مساحة المثلث القائم عند مركز Kreis. $$A_{\text{قطعة}}=A_{\text{قطاع}}-A_{\text{مثلث}}$$ حيث $$A_{\text{قطاع}}=\frac{1}{2}r^{2}\theta$$ و $$A_{\text{مثلث}}=\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta$$ وبالتالي الصيغة العامة للقطعة: $$A=\frac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$$ 3. التعويض بالقيمة المعطاة لنصف القطر r=6 سم وإظهار التبسيط خطوة بخطوة: $$A=\frac{1}{2}\times 6^{2}(\theta-\sin\theta)$$ $$A=\frac{1}{2}\times 36(\theta-\sin\theta)$$ $$A=\frac{1\times 36}{2}(\theta-\sin\theta)$$ $$A=\frac{\cancel{36}}{\cancel{2}}(\theta-\sin\theta)=18(\theta-\sin\theta)$$ 4. ملاحظة مهمة حول النتيجة العددية: المعطيات الحالية لا تعطي مقدار الزاوية المركزية $\theta$ ولا طول الوتر ولا ارتفاع القطعة $h$، لذلك لا يمكن إعطاء قيمة عددية نهائية لمساحة المنطقة المظللة دون معلومة إضافية. 5. إذا أعطي طول الوتر $c$ أو ارتفاع القطعة $h$ فبإمكاننا إيجاد $\theta$ ثم حساب المساحة كما يلي: من طول الوتر: $$c=2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ وبالتالي $$\theta=2\arcsin\left(\frac{c}{2r}\right)$$ من ارتفاع القطعة (الساعد): $$h=r-r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ وبالتالي $$\theta=2\arccos\left(1-\frac{h}{r}\right)$$ 6. الخلاصة النهائية الشكلية: لمساحة المنطقة المظللة عند $r=6$ سم نحصل على التعبير الآتي (يعتمد على $\theta$): $$\boxed{A=18\bigl(\theta-\sin\theta\bigr)\ \text{سم}^{2}}$$ إذا أعطِيت قيمة لِـ $\theta$ أو لِـ $c$ أو لِـ $h$ أستطيع التعويض وحساب القيمة العددية مباشرةً.