1. **تمرين 1 - الدالة و** الدالة معرّفة ب: $$w(x) = 3x^2 + 2x$$ 1) **مجموعة تعريف الدالة**: الدالة كثيرة حدود، معرفة لكل الأعداد الحقيقية، إذن مجموعة التعريف هي $$\mathbb{R}$$. 2) **حساب القيم**: - $$w(0) = 3\times0^2 + 2\times0 = 0$$ - $$w(1) = 3\times1^2 + 2\times1 = 3 + 2 = 5$$ - $$w(2) = 3\times2^2 + 2\times2 = 3\times4 + 4 = 12 + 4 = 16$$ - $$w(3) = 3\times3^2 + 2\times3 = 3\times9 + 6 = 27 + 6 = 33$$ 3) **بين أن الدالة مصغورة بالعدد 1**: نريد أن نثبت أن $$w(x) \geq 1$$ لكل $$x$$. نعيد كتابة الدالة: $$w(x) = 3x^2 + 2x = 3\left(x^2 + \frac{2}{3}x\right)$$ نكمل المربع: $$x^2 + \frac{2}{3}x = \left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}$$ إذن: $$w(x) = 3\left(\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\right) = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3}$$ هذا يعني أن الدالة ليست مصغورة بالعدد 1، بل مصغورة بالعدد $$-\frac{1}{3}$$. ربما هناك خطأ في النص. 2. **تمرين 1 - دالة عددية معرفة على المجال [2,3]** جدول التغيرات: | x | -2 | -1 | 2 | 2 | 3 | |----|----|----|---|---|---| | f(x)| -1 | 2 | 3 | ? | 1 | 1) **تحديد قيم f(2), f(1), f(2) أو (2)**: من الجدول: $$f(2) = 3$$ و $$f(3) = 1$$ 2) **تحديد تغيرات الدالة على المجالات [2,1], [1,2], [2,3]**: - من -2 إلى -1: تزايد من -1 إلى 2 - من -1 إلى 2: تزايد من 2 إلى 3 - من 2 إلى 3: تناقص من 3 إلى 1 3) **القيمة القصوى والدنيا على المجال [2,3]**: - القيمة القصوى: 3 عند x=2 - القيمة الدنيا: 1 عند x=3 4) **تأطير f(x) على المجال [1,2,3]**: - $$1 \leq f(x) \leq 3$$ على المجال [2,3] 3. **تمرين 2 - المعادلة التربيعية** الدالة: $$P(x) = x^2 + 2x - 3$$ 1) **بين أن 0 = (1)**: غير واضح، ربما المقصود إثبات أن $$P(1) = 0$$ حساب: $$P(1) = 1^2 + 2\times1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$$ إذن صحيح. 2) **حساب المميز**: المعادلة: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ المميز $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\times1\times(-3) = 4 + 12 = 16$$ 3) **استنتاج حلول المعادلة**: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ - $$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ - $$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ 4) **جدول إشارة التعبير $$x^2 + 2x - 3$$**: الجذور عند -3 و 1 - للدالة كثيرة حدود من الدرجة 2 بمعامل رئيسي موجب، تكون موجبة خارج الجذور سالبة بينهما. إذن: - $$x < -3$$: $$P(x) > 0$$ - $$-3 < x < 1$$: $$P(x) < 0$$ - $$x > 1$$: $$P(x) > 0$$ 5) **مجموعة حلول المتراجحة $$x^2 + 2x - 3 < 0$$**: هي $$(-3, 1)$$ 4. **حل نظام المعادلات**: $$\begin{cases} 4 = 5 \\ 3x - y = x + 2y \end{cases}$$ المعادلة الأولى غير صحيحة (4=5 خطأ)، ربما خطأ في النص. المعادلة الثانية: $$3x - y = x + 2y \Rightarrow 3x - y - x - 2y = 0 \Rightarrow 2x - 3y = 0$$ إذن: $$3y = 2x \Rightarrow y = \frac{2}{3}x$$ **الملخص:** - مجموعة تعريف الدالة $$w$$ هي $$\mathbb{R}$$. - قيم $$w(0), w(1), w(2), w(3)$$ هي 0, 5, 16, 33 على التوالي. - الدالة $$P(x) = x^2 + 2x - 3$$ جذورها $$-3$$ و $$1$$. - حلول المتراجحة $$P(x) < 0$$ هي $$(-3,1)$$. - نظام المعادلات يحتوي على خطأ في المعادلة الأولى.