1. مسئله: اگر $n$ عدد صحیح باشد و $n^2$ مضرب ۳ باشد، ثابت کنید که خود $n$ نیز مضرب ۳ است. 2. فرمول و قانون مهم: اگر عددی مضرب ۳ باشد، یعنی بر ۳ بخش‌پذیر است. همچنین، اگر مربع عددی بر ۳ بخش‌پذیر باشد، باید خود عدد نیز بر ۳ بخش‌پذیر باشد. 3. اثبات: فرض کنیم $n^2$ مضرب ۳ باشد، یعنی: $$n^2 = 3k$$ برای عدد صحیح $k$. 4. حال، بر اساس قضیه بخش‌پذیری اعداد اول، اگر $n^2$ بر ۳ بخش‌پذیر باشد، آنگاه $n$ نیز باید بر ۳ بخش‌پذیر باشد. زیرا ۳ یک عدد اول است و اگر عدد اولی $p$ بر $a^2$ بخش‌پذیر باشد، آنگاه $p$ بر $a$ نیز بخش‌پذیر است. 5. بنابراین، اگر $n^2$ مضرب ۳ باشد، حتماً $n$ نیز مضرب ۳ است. پاسخ نهایی: $n$ مضرب ۳ است.