1. المطلوب: حل نظام من 3 معادلات خطية بالمتغيرات $x,y,z$.
2. ملاحظة: لم تُزوَّد معادلات محددة، سأعرض مثالًا توضيحيًا وأحلّه خطوة بخطوة لتتعلم الطريقة.
3. المثال (النظام):
$$\begin{cases}
x + 2y - z = 3 \\
2x - 6y + 4z = 8 \\
- x + 4y + z = 2
\end{cases}$$
4. الطريقة المستخدمة: الحذف الغاوسي (Gaussian elimination) بتحويل المصفوفة الموسعة إلى شكل مثلثي ثم الرجوع الخلفي لحل المتغيرات.
5. نكتب المصفوفة الموسعة للنظام:
$$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 3 \\
2 & -6 & 4 & 8 \\
-1 & 4 & 1 & 2
\end{array}\right]$$
6. نطبق عمليات الصفوف لإلغاء العناصر أسفل القاعدة في العمود الأول.
- نجعل $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ و $R_3\leftarrow R_3+R_1$.
- النتيجة:
$$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & -10 & 6 & 2 \\
0 & 6 & 0 & 5
\end{array}\right]$$
7. لتبسيط الصف الثاني نلاحظ أنّ القواسم المشتركة موجودة، نقسم الصف الثاني على $-2$ للحصول على محور أبسط.
- نعرض خطوة القسمة مع إظهار الإلغاء بالرمز \cancel{ }:
$$\frac{1}{\cancel{-2}}\begin{bmatrix}0 & \cancel{-10} & \cancel{6} & | & \cancel{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 5 & -3 & | & -1\end{bmatrix}$$
- إذن المصفوفة الآن:
$$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 5 & -3 & -1 \\
0 & 6 & 0 & 5
\end{array}\right]$$
8. نزيل العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني عبر $R_3\leftarrow R_3-\frac{6}{5}R_2$.
- نطبق العملية ونتحصل على:
$$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 5 & -3 & -1 \\
0 & 0 & \frac{18}{5} & \frac{31}{5}
\end{array}\right]$$
9. الآن نحسب $z$ بقسمة المعادلة الأخيرة على $\frac{18}{5}$.
- نبيّن إلغاء المقسوم والمقسوم بواسطة \cancel{ } عند حذف القاسم المشترك $5$:
$$z=\frac{\frac{31}{5}}{\frac{18}{5}}=\frac{31}{18}$$
10. نعود إلى الصف الثاني لحساب $y$ من المعادلة $5y-3z=-1$.
- نعوّض قيمة $z$:
$$y=\frac{-1+3\cdot \frac{31}{18}}{5}=\frac{-1+\frac{31}{6}}{5}=\frac{\frac{-6+31}{6}}{5}=\frac{\frac{25}{6}}{5}=\frac{25}{30}=\frac{\cancel{5}5}{\cancel{5}6}=\frac{5}{6}$$
11. نحسب $x$ من المعادلة الأولى $x+2y-z=3$.
- نعوّض $y=\frac{5}{6}$ و $z=\frac{31}{18}$:
$$x=3-2\cdot \frac{5}{6}+\frac{31}{18}=3-\frac{10}{6}+\frac{31}{18}=3-\frac{5}{3}+\frac{31}{18}$$
- نبسط الكسر $-\frac{10}{6}$ بإظهار الإلغاء:
$$-\frac{10}{6}=-\frac{\cancel{10}}{\cancel{6}}=-\frac{5}{3}$$
- ثم نحسب بالتحويل إلى مقام مشترك 18:
$$x=\frac{54}{18}-\frac{30}{18}+\frac{31}{18}=\frac{55}{18}$$
12. النتيجة النهائية (حل النظام):
$$x=\frac{55}{18},\quad y=\frac{5}{6},\quad z=\frac{31}{18}$$
13. ملاحظة ختامية: يمكنك اتباع نفس الخطوات لأي نظام ثلاثي؛ احرص على اختيار محاور (pivots) غير صفرية وإجراء تبسيط وتقسيم مع إظهار الإلغاءات عند تبسيط العوامل.
نظام ثلاثي Be600C
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.