1. نبدأ بحل الحد الأول: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x^2 - 2x - 8}{|x^2 - 2x|}$$ - نعوض قريبًا من 2 من الجهة اليسرى (أقل من 2). - نحسب البسط: $$3(2)^2 - 2(2) - 8 = 3 \times 4 - 4 - 8 = 12 - 4 - 8 = 0$$ - نحسب المقام داخل القيمة المطلقة: $$x^2 - 2x = 2^2 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$$ - ندرس إشارة المقام عند قيم أقل من 2: إذا أخذنا $x=1.9$، $$1.9^2 - 2 \times 1.9 = 3.61 - 3.8 = -0.19 < 0$$ - إذًا $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x)$ عندما $x \to 2^-$. - نعيد كتابة الحد: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x^2 - 2x - 8}{-(x^2 - 2x)} = - \lim_{x \to 2^-} \frac{3x^2 - 2x - 8}{x^2 - 2x}$$ - نبسط البسط: $$3x^2 - 2x - 8 = (3x + 4)(x - 2)$$ - نبسط المقام: $$x^2 - 2x = x(x - 2)$$ - بالتالي: $$- \lim_{x \to 2^-} \frac{(3x + 4)(x - 2)}{x(x - 2)} = - \lim_{x \to 2^-} \frac{3x + 4}{x}$$ - نعوض $x=2$: $$- \frac{3 \times 2 + 4}{2} = - \frac{6 + 4}{2} = - \frac{10}{2} = -5$$ 2. الحد الثاني: $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{1 + x^2} - 2}{x^2 - 3x}$$ - نعوض مباشرة: $$\sqrt{1 + 9} - 2 = \sqrt{10} - 2 \neq 0$$ $$3^2 - 3 \times 3 = 9 - 9 = 0$$ - المقام صفر والبسط ليس صفرًا، إذًا الحد غير موجود (يميل إلى ما لا نهاية). 3. الحد الثالث: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{x + \sqrt{x}}$$ - نقسم البسط والمقام على $x$: $$\frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{x + \sqrt{x}} = \frac{1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{\sqrt{x}}{x}}$$ - عندما $x \to +\infty$: $$\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1$$ $$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x} = x^{-1/2} \to 0$$ - إذًا: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 1}{1 + 0} = 0$$ 4. دالة: $$f(x) = \frac{x^{3/2}}{x + 1}$$ - نريد حساب: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3/2}}{x + 1}$$ - نقسم البسط والمقام على $x$: $$\frac{x^{3/2}}{x + 1} = \frac{x^{3/2}}{x(1 + \frac{1}{x})} = \frac{x^{3/2}}{x} \times \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{x^{1/2}}{1 + \frac{1}{x}}$$ - عندما $x \to +\infty$: $$x^{1/2} \to +\infty, \quad \frac{1}{x} \to 0$$ - إذًا: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ النتيجة النهائية للحد الأول هي: $$\boxed{-5}$$ عدد المسائل في الرسالة: 4