1. صورت مسئله: تابع $f(x,y)=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}y+2x$ را در ناحیه $D=\{(x,y):\ y\ge x^2-4,\ y\le -x^2+4\}$ بررسی کنید و مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق را بیابید. 2. روش کلی: چون $D$ بسته و محدود است، مقادیر مطلق در نقاط بحرانی داخلی یا روی مرز ظاهر می‌شوند. 3. نقاط بحرانی داخلی: گرادیان را حساب می‌کنیم. $$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(x^2+2,\;\frac{3}{2})$$ بنابراین معادلهٔ نقاط بحرانی $x^2+2=0$ و $\frac{3}{2}=0$ است و چون $\frac{3}{2}\neq0$ هیچ نقطهٔ بحرانی داخلی وجود ندارد. 4. مرزها: مرزهای $D$ دو منحنی هستند: $y=-x^2+4$ و $y=x^2-4$ که در $x=\pm2$ برخورد می‌کنند. برای یافتن تقاطع حل می‌کنیم $x^2-4=-x^2+4$. $$2x^2=8$$ وقتی تقسیم بر 2 انجام می‌دهیم نشان می‌دهیم: $$\frac{2x^2}{\cancel{2}}=\frac{8}{\cancel{2}}\Rightarrow x^2=4$$ پس $x=\pm2$ و نقاط تلاقی $(2,0)$ و $(-2,0)$ هستند. 5. مرز بالا $y=-x^2+4$ را بررسی می‌کنیم. تابعِ محدود به این مرز را تعریف می‌کنیم: $$g_1(x)=f(x,-x^2+4)=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+6+2x$$ مشتق را حساب می‌کنیم: $$g_1'(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$ برای یافتن ریشه‌ها $g_1'(x)=0$ داریم $(x-1)(x-2)=0$. برای استخراج ریشهٔ اول با فرض $x\neq2$ تقسیم بر $(x-2)$ می‌کنیم و نمایشِ لغو را می‌آوریم: $$\frac{(x-1)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}}=0\Rightarrow x-1=0$$ از اینجا ریشه‌ها $x=1$ و $x=2$ هستند. مقادیر متناظر را محاسبه می‌کنیم. برای $x=1$ داریم: $$g_1(1)=\frac{1}{3}\cdot1^3-\frac{3}{2}\cdot1^2+6+2\cdot1=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+8=\frac{2-9+48}{6}=\frac{41}{6}$$ برای $x=2$ (نقطهٔ تلاقی) داریم: $$g_1(2)=\frac{1}{3}\cdot8-\frac{3}{2}\cdot4+6+2\cdot2=\frac{8}{3}-6+6+4=\frac{8}{3}+4=\frac{8+12}{3}=\frac{20}{3}$$ 6. مرز پایین $y=x^2-4$ را بررسی می‌کنیم. تابعِ محدود به این مرز را تعریف می‌کنیم: $$g_2(x)=f(x,x^2-4)=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-6+2x$$ مشتق را حساب می‌کنیم: $$g_2'(x)=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$ حلِ $g_2'(x)=0$ می‌دهد $x=-1$ و $x=-2$. در اینجا برای جدا کردن یکی از ریشه‌ها می‌توانیم تقسیم مشابه را نشان دهیم: $$\frac{(x+1)\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}}=0\Rightarrow x+1=0$$ مقادیر متناظر را محاسبه می‌کنیم. برای $x=-1$ داریم: $$g_2(-1)=\frac{1}{3}(-1)^3+\frac{3}{2}(-1)^2-6+2(-1)=-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-6-2=\frac{-2+9-48}{6}=-\frac{41}{6}$$ برای $x=-2$ (نقطهٔ تلاقی) داریم: $$g_2(-2)=\frac{1}{3}(-8)+\frac{3}{2}\cdot4-6+2(-2)=-\frac{8}{3}+6-6-4=-\frac{8}{3}-4=-\frac{20}{3}$$ 7. جمع‌بندیِ نامزدها و انتخاب اکسترمم‌ها. نامزدها عبارت‌اند از: $(1,3)$ با مقدار $\frac{41}{6}$. $(2,0)$ با مقدار $\frac{20}{3}$. $(-1,-3)$ با مقدار $-\frac{41}{6}$. $(-2,0)$ با مقدار $-\frac{20}{3}$. از بین این‌ها بیشترین مقدار مطلق برابر $\frac{41}{6}$ در نقطه $(1,3)$ است و کمترین مقدار مطلق برابر $-\frac{41}{6}$ در نقطه $(-1,-3)$ است. پاسخ نهایی: ماکزیمم مطلق $f_{\max}=\frac{41}{6}$ در $(1,3)$ و مینیمم مطلق $f_{\min}=-\frac{41}{6}$ در $(-1,-3)$.