1. بیان مسئله: مشتق جهت‌دار تابع $f(x,y,z)=x^2 - y^2 + z^2 + x z^2$ را در نقطه‌ی $(1,1,2)$ در امتداد خط مماس بر منحنی تقاطع دو رویه‌ی $2x^2+2y^2-z^2=0$ و $z=3x^2-y^2$ بیابید. 2. روش کلی: مشتق جهت‌دار در جهت واحدهٔ $ abla f$ روی بردار واحد $ abla f\cdot\mathbf{u}$ است. $$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}$$ برای یافتن بردار مماسی منحنی تقاطع دو رویه، بردار مماسی را به صورت ضرب خارجی گرادیان‌های دو رویه می‌یابیم. اگر $G(x,y,z)=2x^2+2y^2-z^2$ و $H(x,y,z)=z-3x^2+y^2$ آنگاه بردار مماسی: $$\mathbf{v}=\nabla G\times\nabla H$$ 3. محاسبهٔ گرادیان‌های دو رویه و مقدار در نقطه: $$\nabla G=(4x,4y,-2z)$$ $$\nabla H=(-6x,2y,1)$$ در نقطهٔ $(1,1,2)$ داریم: $$\nabla G(1,1,2)=(4,4,-4)$$ $$\nabla H(1,1,2)=(-6,2,1)$$ 4. محاسبهٔ بردار مماسی با ضرب خارجی: $$\mathbf{v}=(4,4,-4)\times(-6,2,1)=(12,20,32)$$ برای ساده‌سازی می‌بینیم که ضریب مشترک 4 وجود دارد، بنابراین باید آن را کوتاه کنیم. $$\mathbf{v}=(12,20,32)=\cancel{4}(3,5,8)$$ 5. محاسبهٔ اندازهٔ بردار مماسی: $$\|\mathbf{v}\|=\sqrt{12^2+20^2+32^2}=\sqrt{1568}=28\sqrt{2}$$ 6. بردار واحد مماسی را می‌سازیم و در حین ساده‌سازی از علامت قطع استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{(12,20,32)}{28\sqrt{2}}=\frac{\cancel{4}(3,5,8)}{\cancel{4}7\sqrt{2}}=\frac{(3,5,8)}{7\sqrt{2}}$$ 7. محاسبهٔ گرادیان تابع $f$: $$f_x=2x+z^2$$ $$f_y=-2y$$ $$f_z=2z+2xz$$ در نقطهٔ $(1,1,2)$ داریم: $$\nabla f(1,1,2)=(6,-2,8)$$ 8. محاسبهٔ مشتق جهت‌دار: ابتدا ضرب داخلی گرادیان با بردار مماسی (نه واحد) را محاسبه می‌کنیم تا ساده‌تر شود. $$\nabla f\cdot\mathbf{v}=(6,-2,8)\cdot(12,20,32)=6\cdot12+(-2)\cdot20+8\cdot32=288$$ سپس مشتق جهت‌دار برابر است با این مقدار تقسیم بر اندازهٔ بردار مماسی. $$D_{\mathbf{u}}f=\frac{288}{28\sqrt{2}}=\frac{\cancel{4}72}{\cancel{4}7\sqrt{2}}=\frac{72}{7\sqrt{2}}=\frac{72\sqrt{2}}{14}=\frac{36\sqrt{2}}{7}$$ 9. نتیجهٔ نهایی: مشتق تابع در نقطهٔ داده شده در جهت مماس بر منحنی تقاطع برابر است با $$D_{\mathbf{u}}f(1,1,2)=\frac{36\sqrt{2}}{7}.$$ جواب نهایی را می‌توان به صورت عددی نیز نوشت ولی فرم ساده‌شدهٔ نمادی بالا مناسب و دقیق است.