1. Énonçons le problème : Trouver la dérivée première $y'$ et la dérivée seconde $y''$ de la fonction rationnelle $$y=\frac{x-1}{x+1}$$ et comprendre la forme du graphe. 2. Formule utilisée : Pour une fonction rationnelle $y=\frac{u}{v}$, la dérivée est donnée par la règle du quotient : $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 3. Calculons $y'$ : - $u = x-1$, donc $u' = 1$ - $v = x+1$, donc $v' = 1$ Appliquons la règle du quotient : $$y' = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$$ 4. Calculons $y''$ en dérivant $y'$ : $$y' = 2(x+1)^{-2}$$ Utilisons la règle de dérivation de la puissance : $$y'' = 2 \cdot (-2)(x+1)^{-3} \cdot 1 = -4(x+1)^{-3} = -\frac{4}{(x+1)^3}$$ 5. Analyse du graphe : - La fonction a une asymptote verticale en $x = -1$ car le dénominateur s'annule. - L'asymptote horizontale est $y = 1$ car pour $x \to \pm \infty$, $y \to \frac{x}{x} = 1$. - Le graphe est dans le quadrant supérieur gauche pour $x < -1$ et dans le quadrant inférieur droit pour $x > -1$. Réponse finale : $$y' = \frac{2}{(x+1)^2}$$ $$y'' = -\frac{4}{(x+1)^3}$$