1. **Énoncé du problème :** Montrer les propriétés du produit croisé défini par $[x,y] := x_1 y_2 - x_2 y_1$ pour $x,y,z \in \mathbb{R}^2$ et $r \in \mathbb{R}$. 2. **Propriétés à démontrer :** - $[x,x] = 0$ - $[x,y] = -[y,x]$ - $[x,y+z] = [x,y] + [x,z]$ - $[x,ry] = r[x,y]$ 3. **Démonstrations :** **(a) $[x,x] = 0$** $$ [x,x] = x_1 x_2 - x_2 x_1 = 0 $$ **(b) $[x,y] = -[y,x]$** $$ [x,y] = x_1 y_2 - x_2 y_1 $$ $$ [y,x] = y_1 x_2 - y_2 x_1 = -(x_1 y_2 - x_2 y_1) = -[x,y] $$ **(c) $[x,y+z] = [x,y] + [x,z]$** $$ [x,y+z] = x_1 (y_2 + z_2) - x_2 (y_1 + z_1) = (x_1 y_2 - x_2 y_1) + (x_1 z_2 - x_2 z_1) = [x,y] + [x,z] $$ **(d) $[x,ry] = r[x,y]$** $$ [x,ry] = x_1 (r y_2) - x_2 (r y_1) = r (x_1 y_2 - x_2 y_1) = r [x,y] $$ 4. **Conclusion :** Ces propriétés montrent que $[\cdot,\cdot]$ est une forme bilinéaire antisymétrique.