1. **Estudio de la función y = f(x) del problema 8** a) **Dominio e imagen:** - El dominio es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida. - Observando la gráfica, la función tiene una discontinuidad (hueco) cerca de $x \approx 3$, por lo que el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. - La imagen es el conjunto de valores de $y$ que toma la función. Se observa que la función alcanza valores máximos y mínimos locales, y su rango parece estar entre un mínimo cercano a $-2$ y un máximo cercano a $4$. b) **Continuidad:** - La función es continua en todos los puntos excepto en $x=3$, donde hay una discontinuidad (hueco). c) **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - Crece en intervalos donde la pendiente es positiva. - Decrece en intervalos donde la pendiente es negativa. - Por la gráfica, crece en $(-\infty, x_1)$, decrece en $(x_1, x_2)$, crece en $(x_2, 3)$, hay discontinuidad en $3$, luego crece en $(3, x_3)$ y decrece en $(x_3, +\infty)$, donde $x_1, x_2, x_3$ son puntos de máximos y mínimos locales. d) **Máximos y mínimos:** - Máximo relativo cerca de $x=0$ con valor $f(0) \approx 4$. - Mínimo relativo cerca de $x=1.5$ con valor $f(1.5) \approx 0$. - Máximo relativo cerca de $x=4$ con valor $f(4) \approx 3$. e) **Simetría:** - La función no parece ser ni par ni impar, ya que no es simétrica respecto al eje $y$ ni al origen. f) **Puntos de corte con los ejes:** - Corte con eje $y$ en $x=0$, $f(0) \approx 4$. - Cortes con eje $x$ en puntos donde la función cruza el eje horizontal, aproximadamente en $x \approx 1$ y $x \approx 3.5$. 2. **Estudio de la función y = f(x) del problema 9** a) **Dominio e imagen:** - Dominio: todos los reales excepto el punto de discontinuidad (hueco) en el centro. - Imagen: valores entre un mínimo profundo negativo y un máximo positivo, aproximadamente entre $-3$ y $3$. b) **Continuidad:** - Continua en todos los puntos excepto en el hueco central. c) **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - Decrece en la rama izquierda, luego crece en la parte central, y finalmente decrece ligeramente en la derecha. d) **Máximos y mínimos:** - Mínimo absoluto en la parte central, valor aproximado $-3$. - Máximo relativo en la rama derecha, valor aproximado $2.5$. e) **Simetría:** - No presenta simetría clara. f) **Puntos de corte con los ejes:** - Cortes con eje $x$ en varios puntos, incluyendo cerca del centro y en la rama derecha. 3. **Funciones del problema 10** - Primera función: línea recta creciente que pasa por el origen. $$y = mx, \quad m > 0$$ - Segunda función: línea recta decreciente que pasa por el origen. $$y = mx, \quad m < 0$$ - Tercera función: línea recta decreciente que cruza cerca del origen. $$y = mx + b, \quad m < 0, b \neq 0$$ **Respuesta final:** - Problema 8: Dominio $\mathbb{R} \setminus \{3\}$, imagen aproximadamente $[-2,4]$, discontinuidad en $x=3$, intervalos de crecimiento y decrecimiento según máximos y mínimos locales, sin simetría, cortes con ejes en $x=0$ y otros puntos. - Problema 9: Dominio con hueco central, imagen $[-3,3]$, discontinuidad en el hueco, intervalos de crecimiento y decrecimiento según ramas, sin simetría, varios cortes con ejes. - Problema 10: Funciones lineales con pendiente positiva o negativa, algunas pasando por el origen y otras con ordenada al origen distinta de cero.