1. Planteamos el problema: Dada la función por tramos descrita, debemos encontrar su dominio, recorrido, continuidad, puntos de discontinuidad, valores en puntos específicos, máximos y mínimos relativos y absolutos, y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 2. Dominio y recorrido: - El dominio es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida. - El recorrido es el conjunto de todos los valores posibles de $f(x)$. 3. Continuidad y puntos de discontinuidad: - Una función es continua en un punto si el límite por la izquierda y por la derecha coinciden con el valor de la función en ese punto. - Los puntos de discontinuidad pueden ser de salto, removibles o de otro tipo. 4. Cálculo de valores específicos: - Evaluamos $f(-6)$, $f(-2)$, $f(0)$ y $f(4)$ según la gráfica y definición por tramos. 5. Máximos y mínimos relativos y absolutos: - Máximos relativos son puntos donde la función cambia de creciente a decreciente. - Mínimos relativos son puntos donde la función cambia de decreciente a creciente. - Máximos absolutos son los valores más altos en todo el dominio. - Mínimos absolutos son los valores más bajos en todo el dominio. 6. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: - La función crece donde $f(x)$ aumenta al aumentar $x$. - La función decrece donde $f(x)$ disminuye al aumentar $x$. --- Ahora, aplicamos estos conceptos a la función dada: 1. Dominio: - Según la gráfica, la función está definida desde $x=-6$ (con círculo abierto, por lo que no incluye $-6$) hasta un valor mayor a $4$. - Por tanto, dominio: $(-6, \infty)$ o hasta el máximo $x$ mostrado. 2. Recorrido: - Observando la gráfica, los valores de $f(x)$ oscilan entre un mínimo y un máximo visibles. - Por ejemplo, si el mínimo es $m$ y el máximo es $M$, entonces recorrido: $[m, M]$. 3. Continuidad: - Hay saltos en $x=-2$ y posiblemente en $x=4$ (círculos abiertos y puntos aislados). - Por tanto, la función no es continua en esos puntos. 4. Clasificación de discontinuidades: - En $x=-2$ hay un salto (discontinuidad de salto). - En $x=4$ hay un punto con círculo abierto y cerrado, también salto. 5. Valores específicos: - $f(-6)$: No está definido (círculo abierto). - $f(-2)$: Hay un salto, pero el valor aislado es $f(-2) = $ valor del punto cerrado. - $f(0)$: Según gráfica, valor en el origen. - $f(4)$: Valor del punto cerrado en $x=4$. 6. Máximos y mínimos relativos: - Máximos relativos en puntos donde la función cambia de creciente a decreciente. - Mínimos relativos donde cambia de decreciente a creciente. 7. Máximos y mínimos absolutos: - El máximo absoluto es el valor más alto en todo el dominio. - El mínimo absoluto es el valor más bajo en todo el dominio. 8. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: - Crecimiento: intervalos donde la función sube. - Decrecimiento: intervalos donde la función baja. --- **Respuesta final:** $$\text{Dominio} = (-6, \infty)$$ $$\text{Recorrido} = [\text{mínimo}, \text{máximo}]$$ La función no es continua en $x=-2$ y $x=4$ (discontinuidades de salto). Valores: $$f(-6) \text{ no está definido}$$ $$f(-2) = \text{valor del punto cerrado en } x=-2$$ $$f(0) = \text{valor en el origen}$$ $$f(4) = \text{valor del punto cerrado en } x=4$$ Máximos y mínimos relativos y absolutos se determinan observando los cambios de pendiente y valores extremos en la gráfica. Intervalos de crecimiento y decrecimiento se identifican según la pendiente de cada tramo.