1. Planteamos el problema: tenemos dos funciones dadas: $$f(x) = \sqrt{1^2 - (|x| - 1)^2}$$ $$g(x) = \cos^{-1}(1 - |x|) - \pi$$ Queremos analizar y entender estas funciones, encontrar su dominio, rango y comportamiento. 2. Para $f(x)$, reconocemos que es la fórmula de un semicírculo con radio 1 centrado en $(1,0)$ y simétrico respecto al eje y debido al valor absoluto en $|x|$. El dominio de $f(x)$ está dado por: $$1^2 - (|x| - 1)^2 \geq 0$$ $$\Rightarrow (|x| - 1)^2 \leq 1$$ $$\Rightarrow -1 \leq |x| - 1 \leq 1$$ $$\Rightarrow 0 \leq |x| \leq 2$$ Por lo tanto, el dominio es $[-2, 2]$. 3. El rango de $f(x)$ es desde 0 hasta 1, porque la raíz cuadrada siempre es no negativa y el máximo valor dentro de la raíz es 1. 4. Para $g(x)$, la función es: $$g(x) = \cos^{-1}(1 - |x|) - \pi$$ El dominio de $g(x)$ está determinado por el argumento de $\cos^{-1}$ que debe estar en $[-1,1]$: $$-1 \leq 1 - |x| \leq 1$$ $$\Rightarrow 0 \leq |x| \leq 2$$ Por lo tanto, el dominio es $[-2, 2]$. 5. El rango de $g(x)$ se obtiene evaluando los extremos: Para $|x|=0$: $$g(0) = \cos^{-1}(1) - \pi = 0 - \pi = -\pi$$ Para $|x|=2$: $$g(2) = \cos^{-1}(-1) - \pi = \pi - \pi = 0$$ Por lo tanto, el rango es $[-\pi, 0]$. 6. Resumen: - $f(x)$ es un semicírculo con dominio $[-2,2]$ y rango $[0,1]$. - $g(x)$ es una función decreciente con dominio $[-2,2]$ y rango $[-\pi,0]$. Estos resultados describen claramente las funciones y sus características principales.