1. Problema: Dibujar el conjunto $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 -1 \leq y \leq x^2 +1\}$, su interior y frontera, y determinar si es abierto, cerrado, acotado o compacto. 2. Fórmulas y reglas: El conjunto está definido por dos desigualdades que delimitan una "banda" entre las curvas $y = x^2 -1$ y $y = x^2 +1$. 3. Análisis y dibujo: - La frontera de $A$ está dada por las curvas $y = x^2 -1$ y $y = x^2 +1$. - El interior es el conjunto de puntos donde $x^2 -1 < y < x^2 +1$. 4. Propiedades: - $A$ incluye sus fronteras, por lo que es cerrado. - No es abierto porque incluye las fronteras. - No es acotado porque $x$ puede crecer sin límite y $y$ crece con $x^2$. - No es compacto porque no es acotado. 5. Resumen: - $A$ es cerrado, no abierto, no acotado, no compacto. \textbf{Respuesta final:} $$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 -1 \leq y \leq x^2 +1\}$$ - Interior: $\{(x,y) : x^2 -1 < y < x^2 +1\}$ - Frontera: $\{(x,y) : y = x^2 -1 \text{ o } y = x^2 +1\}$ - $A$ es cerrado, no abierto, no acotado, no compacto.