1. Planteamiento del problema: Analizaremos la continuidad de la función definida por partes $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x+3} & \text{si } -5 < x < 4 \\\sqrt{x - 4} & \text{si } x \geq 4 \\\ln(-x - 5) & \text{si } x < -5 \end{cases}$$ 2. Para estudiar la continuidad, debemos verificar que en cada punto del dominio: - La función esté definida. - Exista el límite lateral (izquierdo y derecho) en puntos críticos. - El valor de la función coincida con el límite en esos puntos. 3. Puntos críticos a analizar: los extremos de los intervalos donde cambia la definición, es decir, $x = -5$ y $x = 4$. 4. Simplificamos la expresión para $-5 < x < 4$: Factorizamos el numerador: $$x^3 + 4x^2 - 17x - 60 = (x+3)(x^2 + x - 20)$$ Factorizamos el trinomio: $$x^2 + x - 20 = (x+5)(x-4)$$ Por lo tanto: $$\frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x+3} = \frac{(x+3)(x+5)(x-4)}{x+3}$$ Cancelamos $x+3$ (excepto en $x=-3$ donde la función no está definida): $$= \cancel{\frac{(x+3)(x+5)(x-4)}{x+3}} = (x+5)(x-4)$$ 5. Continuidad en $x = -5$: - Para $x < -5$, $f(x) = \ln(-x - 5)$ está definida solo si $-x - 5 > 0 \Rightarrow x < -5$, correcto. - Calculamos límite por la izquierda: $$\lim_{x \to -5^-} \ln(-x - 5) = \ln(0^+) = -\infty$$ - Calculamos límite por la derecha usando la expresión simplificada: $$\lim_{x \to -5^+} (x+5)(x-4) = 0 \cdot (-9) = 0$$ - La función no está definida en $x=-5$ (no pertenece al dominio), pero los límites laterales no coinciden. - Por lo tanto, hay una discontinuidad esencial (de salto infinito) en $x = -5$. 6. Continuidad en $x = 4$: - Para $x < 4$, $f(x) = (x+5)(x-4)$. - Para $x \geq 4$, $f(x) = \sqrt{x - 4}$. - Calculamos límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 4^-} (x+5)(x-4) = 9 \cdot 0 = 0$$ - Calculamos límite por la derecha: $$\lim_{x \to 4^+} \sqrt{x - 4} = 0$$ - Valor de la función en $x=4$: $$f(4) = \sqrt{4 - 4} = 0$$ - Los límites laterales y el valor coinciden, por lo que la función es continua en $x=4$. 7. En el intervalo $-5 < x < 4$, la función es continua porque es un polinomio (después de simplificar). 8. En $x < -5$, la función es continua en su dominio porque el logaritmo natural es continuo donde está definido. 9. En $x \geq 4$, la función es continua porque la raíz cuadrada es continua en su dominio. \textbf{Conclusión:} - La función es continua en $(-\infty, -5)$, $(-5,4)$ y $[4, \infty)$. - Presenta una discontinuidad esencial (de salto infinito) en $x = -5$. - Es continua en $x=4$. \textbf{Clasificación de discontinuidades:} - En $x=-5$: discontinuidad esencial (no removible, salto infinito). - En $x=4$: continua.