1. Planteamos el problema: Determinar en qué puntos la función por partes $$f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & x \leq 0 \\ 2 - x & 0 < x \leq 2 \\ (x - 2)^2 & x > 2 \end{cases}$$ es discontinua. 2. Para estudiar la continuidad en los puntos críticos donde cambia la definición, evaluamos en $x=0$ y $x=2$. 3. Evaluamos la continuidad en $x=0$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x^2) = 1 + 0^2 = 1$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2 - x) = 2 - 0 = 2$$ - Valor de la función en $x=0$: $$f(0) = 1 + 0^2 = 1$$ Como los límites laterales no coinciden ($1 \neq 2$), la función es discontinua en $x=0$. 4. Evaluamos la continuidad en $x=2$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2 - x) = 2 - 2 = 0$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0$$ - Valor de la función en $x=2$: $$f(2) = 2 - 2 = 0$$ Como los límites laterales y el valor de la función coinciden, la función es continua en $x=2$. 5. Para $x=1$, la función está definida por la expresión $2 - x$, que es continua en todo su dominio, por lo que no hay discontinuidad en $x=1$. 6. Conclusión: La función es discontinua solo en $x=0$. Respuesta final: La función es discontinua en $x=0$.