1. **Planteamiento del problema:** Determinar el dominio de la función $$g(x,y) = \frac{\log_4(x^2 - 4x)}{\sqrt[3]{4x^2 + 64y^2 - 16}} + \frac{x^2 + y^2 - 6}{\sqrt{y^2 - x^2 - 4}}$$ 2. **Condiciones para el dominio:** - El argumento del logaritmo debe ser positivo: $$x^2 - 4x > 0$$ - El radicando de la raíz cúbica puede ser cualquier número real, pero para evitar división por cero: $$4x^2 + 64y^2 - 16 \neq 0$$ - El radicando de la raíz cuadrada debe ser positivo (no puede ser cero porque está en denominador): $$y^2 - x^2 - 4 > 0$$ 3. **Resolver cada condición:** - Para $$x^2 - 4x > 0$$: Factorizamos: $$x(x - 4) > 0$$ Esto es positivo cuando ambos factores son positivos o ambos negativos: - Caso 1: $$x > 0$$ y $$x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$$ - Caso 2: $$x < 0$$ y $$x - 4 < 0 \Rightarrow x < 0$$ Por lo tanto: $$x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$$ - Para $$4x^2 + 64y^2 - 16 \neq 0$$: Simplificamos: $$4x^2 + 64y^2 \neq 16$$ Dividimos entre 16: $$\frac{4x^2}{16} + \frac{64y^2}{16} \neq 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + 4y^2 \neq 1$$ Esto significa que el punto $$(x,y)$$ no está en la elipse $$\frac{x^2}{4} + 4y^2 = 1$$ - Para $$y^2 - x^2 - 4 > 0$$: $$y^2 > x^2 + 4$$ 4. **Dominio conjunto:** $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x < 0 \text{ o } x > 4), \quad \frac{x^2}{4} + 4y^2 \neq 1, \quad y^2 > x^2 + 4 \}$$ 5. **Interpretación:** - El dominio está formado por los puntos fuera del intervalo $$[0,4]$$ en $$x$$. - Excluye la elipse $$\frac{x^2}{4} + 4y^2 = 1$$. - Y los puntos deben estar en la región donde $$y^2 > x^2 + 4$$, es decir, fuera de las dos ramas de la hipérbola $$y = \pm \sqrt{x^2 + 4}$$. **Respuesta final:** Dominio: $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x < 0 \text{ o } x > 4), \quad \frac{x^2}{4} + 4y^2 \neq 1, \quad y^2 > x^2 + 4 \}$$