1. **Estudio de la función dada** Dado el gráfico de una función, se pide analizar varias características importantes para entender su comportamiento. 2. **Dominio y recorrido** - El dominio es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida. - El recorrido es el conjunto de todos los valores que toma la función, es decir, los valores de $f(x)$. 3. **Puntos de corte con los ejes** - Corte con el eje $Y$: se encuentra evaluando $f(0)$. - Corte con el eje $X$: se encuentran los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$. 4. **Monotonía** - La función es creciente en los intervalos donde al aumentar $x$, $f(x)$ también aumenta. - La función es decreciente en los intervalos donde al aumentar $x$, $f(x)$ disminuye. 5. **Extremos** - Máximos: puntos donde la función alcanza un valor mayor que en sus alrededores. - Mínimos: puntos donde la función alcanza un valor menor que en sus alrededores. 6. **Curvatura** - La función es convexa en los intervalos donde la gráfica está "hacia arriba". - La función es cóncava en los intervalos donde la gráfica está "hacia abajo". 7. **Cálculo de valores puntuales** Se evalúa la función en los puntos dados: $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(4)$. --- ### Ejercicio similar 1 Dada la función $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, realiza el estudio completo: - Dominio - Recorrido - Puntos de corte con los ejes - Monotonía - Extremos - Curvatura - Calcula $g(-1)$, $g(0)$, $g(2)$, $g(3)$ ### Ejercicio similar 2 Dada la función $h(x) = -2x^2 + 4x + 1$, realiza el estudio completo: - Dominio - Recorrido - Puntos de corte con los ejes - Monotonía - Extremos - Curvatura - Calcula $h(-1)$, $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$ --- ### Explicación del primer ejercicio 1. **Dominio:** Para funciones polinómicas como las dadas, el dominio es todo $\mathbb{R}$ porque están definidas para cualquier valor real. 2. **Recorrido:** Se determina observando los valores que toma la función o usando derivadas para encontrar máximos y mínimos. 3. **Puntos de corte:** - Con el eje $Y$ se evalúa la función en $x=0$. - Con el eje $X$ se resuelve la ecuación $f(x)=0$. 4. **Monotonía:** Se usa la derivada $f'(x)$ para saber dónde la función crece o decrece: - Si $f'(x) > 0$, la función es creciente. - Si $f'(x) < 0$, la función es decreciente. 5. **Extremos:** Se encuentran los puntos donde $f'(x)=0$ y se analiza el signo de $f''(x)$ para determinar si son máximos o mínimos. 6. **Curvatura:** Se usa la segunda derivada $f''(x)$: - Si $f''(x) > 0$, la función es convexa. - Si $f''(x) < 0$, la función es cóncava. 7. **Evaluación:** Se sustituyen los valores dados en la función para obtener los resultados. Este método se aplica para estudiar cualquier función y entender su comportamiento gráfico y analítico.