1. **Problema:** Estudio completo de la función dada (se asume función genérica para análisis completo). 2. **Dominio:** El dominio es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida. 3. **Puntos de corte:** Son los valores de $x$ donde la función cruza los ejes. - Corte con eje $x$: resolver $f(x)=0$. - Corte con eje $y$: evaluar $f(0)$. 4. **Continuidad:** La función es continua en los puntos donde no hay saltos, asíntotas o discontinuidades. 5. **Crecimiento y decrecimiento:** Se estudia la derivada $f'(x)$. - Si $f'(x)>0$, la función crece. - Si $f'(x)<0$, la función decrece. 6. **Máximos y mínimos:** Son puntos donde $f'(x)=0$ y cambian el signo de la derivada. - Máximo local: $f'(x)$ cambia de positivo a negativo. - Mínimo local: $f'(x)$ cambia de negativo a positivo. 7. **Simetría:** - Par: $f(-x)=f(x)$ (simetría respecto al eje $y$). - Impar: $f(-x)=-f(x)$ (simetría respecto al origen). 8. **Concavidad y punto de inflexión:** - Se estudia la segunda derivada $f''(x)$. - Concava hacia arriba si $f''(x)>0$. - Concava hacia abajo si $f''(x)<0$. - Punto de inflexión donde $f''(x)=0$ y cambia de signo. 9. **Periodicidad:** La función es periódica si existe $p>0$ tal que $f(x+p)=f(x)$ para todo $x$. 10. **Recorrido:** Es el conjunto de valores que toma la función, es decir, el rango. --- **Ejemplo ilustrativo:** Sea $f(x)=x^3-3x^2+2$. 1. Dominio: Todos los reales $\mathbb{R}$. 2. Corte con eje $x$: $x^3-3x^2+2=0$. 3. Corte con eje $y$: $f(0)=2$. 4. Derivada: $f'(x)=3x^2-6x$. 5. Crecimiento/decrecimiento: - $f'(x)=0 \Rightarrow 3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,2$. - Para $x<0$, $f'(x)>0$ (crece). - Entre $0$ y $2$, $f'(x)<0$ (decrece). - Para $x>2$, $f'(x)>0$ (crece). 6. Máximos y mínimos: - Máximo local en $x=0$. - Mínimo local en $x=2$. 7. Simetría: - $f(-x)=-x^3-3x^2+2 \neq f(x)$ ni $-f(x)$, no es par ni impar. 8. Segunda derivada: $f''(x)=6x-6$. - Punto de inflexión en $x=1$. 9. No es periódica. 10. Recorrido: $\mathbb{R}$ (polinomio cúbico). --- Este análisis se aplica a cualquier función dada siguiendo estos pasos.