1. Planteamos el problema: expresar la función $$f(x) = |x + 1| + |x - 2|$$ como función definida a trozos y estudiar su continuidad. 2. Recordemos que el valor absoluto se define como: $$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}$$ 3. Identificamos los puntos donde cambian los signos dentro de los valores absolutos: $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ y $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$. 4. Dividimos el dominio en tres intervalos según esos puntos: - Para $$x < -1$$: $$|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$$ $$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$$ Entonces, $$f(x) = (-x - 1) + (-x + 2) = -2x + 1$$ - Para $$-1 \leq x < 2$$: $$|x + 1| = x + 1$$ (porque $$x + 1 \geq 0$$) $$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$$ (porque $$x - 2 < 0$$) Entonces, $$f(x) = (x + 1) + (-x + 2) = 3$$ - Para $$x \geq 2$$: $$|x + 1| = x + 1$$ $$|x - 2| = x - 2$$ Entonces, $$f(x) = (x + 1) + (x - 2) = 2x - 1$$ 5. La función definida a trozos es: $$ f(x) = \begin{cases} -2x + 1 & x < -1 \\ 3 & -1 \leq x < 2 \\ 2x - 1 & x \geq 2 \end{cases} $$ 6. Estudiamos la continuidad en los puntos $$x = -1$$ y $$x = 2$$: - En $$x = -1$$: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$$ $$f(-1) = 3$$ Por lo tanto, $$f$$ es continua en $$x = -1$$. - En $$x = 2$$: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$$ $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$$ $$f(2) = 3$$ Por lo tanto, $$f$$ es continua en $$x = 2$$. 7. Conclusión: La función $$f(x)$$ está definida a trozos como arriba y es continua en todo su dominio.