1. Planteamos el problema: Tenemos la función por partes $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ 2 & \text{si } x = 1 \\ 8 - 3x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Queremos graficarla y determinar si es continua en todo su dominio. 2. Recordemos que una función es continua en un punto $x=a$ si se cumple: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$ Es decir, el límite por la izquierda, el valor en el punto y el límite por la derecha deben ser iguales. 3. Evaluamos los límites y el valor en $x=1$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$$ - Valor en el punto: $$f(1) = 2$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (8 - 3x) = 8 - 3(1) = 5$$ 4. Comprobamos continuidad en $x=1$: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, \quad f(1) = 2, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 5$$ Como $2 \neq 5$, la función no es continua en $x=1$. 5. Graficamos: - Para $x<1$, la gráfica es la parábola $y = x^2 + 1$. - En $x=1$, un punto sólido en $(1,2)$. - Para $x>1$, la gráfica es la recta decreciente $y = 8 - 3x$. Respuesta final: La función $f$ no es continua en $x=1$ porque el límite por la derecha no coincide con el valor de la función ni con el límite por la izquierda.