1. **Planteamiento del problema:** Estudiar la función $$f(x) = \frac{4x^{2} - 6x}{(5x - 3)^{2}}$$ para determinar su dominio, ceros, imagen, máximo y intervalos de crecimiento y decrecimiento. 2. **Dominio de la función:** El dominio son todos los valores reales excepto donde el denominador es cero. $5x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{5}$ Por lo tanto, $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3}{5} \right\}$$ 3. **Conjunto de ceros:** Los ceros ocurren cuando el numerador es cero y el denominador no es cero. Numerador: $$4x^{2} - 6x = 0 \implies x(4x - 6) = 0 \implies x = 0 \text{ o } x = \frac{3}{2}$$ Ambos valores están en el dominio, entonces $$Z(f) = \left\{0, \frac{3}{2}\right\}$$ 4. **Imagen de la función:** Para encontrar la imagen, analizamos el comportamiento de $$f(x)$$. Primero, notamos que el denominador es siempre positivo (cuadrado), excepto en $$x=\frac{3}{5}$$ donde no está definido. El numerador es un polinomio cuadrático. Para encontrar valores extremos y rango, derivamos $$f(x)$$. 5. **Derivada de $$f(x)$$:** Usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(8x - 6)(5x - 3)^{2} - (4x^{2} - 6x) \cdot 2(5x - 3) \cdot 5}{(5x - 3)^{4}}$$ Simplificamos el numerador: $$N = (8x - 6)(5x - 3)^{2} - 10(4x^{2} - 6x)(5x - 3)$$ Expandimos: $ (5x - 3)^{2} = 25x^{2} - 30x + 9 $ Entonces: $$N = (8x - 6)(25x^{2} - 30x + 9) - 10(4x^{2} - 6x)(5x - 3)$$ Expandimos cada término: $$ (8x - 6)(25x^{2} - 30x + 9) = 8x \cdot 25x^{2} - 8x \cdot 30x + 8x \cdot 9 - 6 \cdot 25x^{2} + 6 \cdot 30x - 6 \cdot 9 $$ $$= 200x^{3} - 240x^{2} + 72x - 150x^{2} + 180x - 54 = 200x^{3} - 390x^{2} + 252x - 54$$ Para el segundo término: $$10(4x^{2} - 6x)(5x - 3) = 10(20x^{3} - 12x^{2} - 30x^{2} + 18x) = 10(20x^{3} - 42x^{2} + 18x) = 200x^{3} - 420x^{2} + 180x$$ Por lo tanto, $$N = (200x^{3} - 390x^{2} + 252x - 54) - (200x^{3} - 420x^{2} + 180x) = 0x^{3} + 30x^{2} + 72x - 54$$ Simplificamos: $$N = 30x^{2} + 72x - 54$$ Para encontrar extremos, igualamos $$f'(x) = 0$$, es decir, $$N = 0$$: $$30x^{2} + 72x - 54 = 0$$ Dividimos entre 6 para simplificar: $$5x^{2} + 12x - 9 = 0$$ Usamos fórmula cuadrática: $$x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (-9)}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10} = \frac{-12 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{-12 \pm 18}{10}$$ Soluciones: $$x_{1} = \frac{-12 + 18}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$$ $$x_{2} = \frac{-12 - 18}{10} = \frac{-30}{10} = -3$$ Ambos están en el dominio (recordar que $$x=0.6=\frac{3}{5}$$ no está en el dominio, pero $$0.6$$ es exactamente $$\frac{3}{5}$$, por lo que no está definido ahí. Por lo tanto, $$x=0.6$$ no es válido para extremos. Solo consideramos $$x = -3$$. 6. **Evaluamos $$f(x)$$ en $$x = -3$$ para encontrar el valor máximo:** $$f(-3) = \frac{4(-3)^{2} - 6(-3)}{(5(-3) - 3)^{2}} = \frac{4 \cdot 9 + 18}{(-15 - 3)^{2}} = \frac{36 + 18}{(-18)^{2}} = \frac{54}{324} = \frac{1}{6}$$ 7. **Comportamiento en los extremos y límites:** - Cuando $$x \to \frac{3}{5}^{-}$$ o $$x \to \frac{3}{5}^{+}$$, el denominador tiende a cero y la función tiende a infinito positivo (porque el denominador está al cuadrado). - Cuando $$x \to \pm \infty$$, el término dominante es $$\frac{4x^{2}}{25x^{2}} = \frac{4}{25}$$. Por lo tanto, la imagen es $$\left(0, +\infty\right)$$ ya que la función es siempre positiva y tiene asíntotas verticales en $$x=\frac{3}{5}$$. 8. **Crecimiento y decrecimiento:** - Para $$x < \frac{3}{5}$$, evaluamos el signo de $$f'(x)$$ en un punto, por ejemplo $$x = 0$$: $$N(0) = 30 \cdot 0 + 72 \cdot 0 - 54 = -54 < 0$$, entonces $$f'(0) < 0$$, función decreciente en $$(-\infty, \frac{3}{5})$$. - Para $$x > \frac{3}{5}$$, evaluamos en $$x=1$$: $$N(1) = 30 + 72 - 54 = 48 > 0$$, entonces $$f'(1) > 0$$, función creciente en $$\left(\frac{3}{5}, +\infty\right)$$. **Resumen:** - Dominio: $$\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3}{5} \right\}$$ - Ceros: $$\left\{0, \frac{3}{2}\right\}$$ - Imagen: $$\left(0, +\infty\right)$$ - Valor máximo: $$\frac{1}{6}$$ en $$x = -3$$ - Creciente en $$\left(\frac{3}{5}, +\infty\right)$$ - Decreciente en $$(-\infty, \frac{3}{5})$$