1. Planteamos el problema: calcular el límite $$L = \lim_{x \to \infty} \left(x^2 - \sqrt{x^2 + \sqrt{-x}} \cdot (x^2 - \sqrt{-x}) + 20\right)$$ 2. Observamos que para $x \to \infty$, $\sqrt{-x}$ no está definido en los reales, pero si consideramos $x \to \infty$ positivo, $\sqrt{-x}$ no es real. Asumiremos que la expresión es un error tipográfico y que se quiso decir $\sqrt{x}$ en lugar de $\sqrt{-x}$ para que tenga sentido real. 3. Reescribimos el límite con $\sqrt{x}$: $$L = \lim_{x \to \infty} \left(x^2 - \sqrt{x^2 + \sqrt{x}} \cdot (x^2 - \sqrt{x}) + 20\right)$$ 4. Simplificamos cada término para $x \to \infty$: - $\sqrt{x^2 + \sqrt{x}} = \sqrt{x^2(1 + x^{-3/2})} = x \sqrt{1 + x^{-3/2}}$ - Para $x \to \infty$, $\sqrt{1 + x^{-3/2}} \to 1$, entonces $\sqrt{x^2 + \sqrt{x}} \sim x$ 5. También, $x^2 - \sqrt{x} = x^2 - x^{1/2}$. 6. Entonces el producto: $$\sqrt{x^2 + \sqrt{x}} \cdot (x^2 - \sqrt{x}) \sim x \cdot (x^2 - x^{1/2}) = x^3 - x^{3/2}$$ 7. Ahora el límite es: $$L = \lim_{x \to \infty} \left(x^2 - (x^3 - x^{3/2}) + 20\right) = \lim_{x \to \infty} \left(x^2 - x^3 + x^{3/2} + 20\right)$$ 8. El término dominante es $-x^3$, que tiende a $-\infty$, por lo que $L = -\infty$. 9. Ahora calculamos: $$K = (L + 3)^{\log_2(1 + L)} = (-\infty + 3)^{\log_2(1 - \infty)} = (-\infty)^{\log_2(-\infty)}$$ 10. Como $L = -\infty$, $1 + L$ es negativo y el logaritmo no está definido en reales. Por lo tanto, $K$ no está definido en los reales. **Respuesta:** El límite $L$ tiende a $-\infty$ y $K$ no está definido en los reales.