1. **Problema:** Calcular el límite $ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{n}}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \cdots + \sqrt{2n}} $. 2. **Fórmula y reglas:** Para sumas de raíces cuadradas, podemos aproximar sumas por integrales para grandes $n$: $$ \sum_{k=a}^b \sqrt{k} \approx \int_a^b \sqrt{x} \, dx $$ 3. **Numerador:** $$ \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \approx \int_1^n \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^n = \frac{2}{3} (n^{3/2} - 1) $$ Para $n \to \infty$, el $-1$ es despreciable, así que: $$ \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \sim \frac{2}{3} n^{3/2} $$ 4. **Denominador:** $$ \sum_{k=n}^{2n} \sqrt{k} \approx \int_n^{2n} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_n^{2n} = \frac{2}{3} ((2n)^{3/2} - n^{3/2}) $$ Simplificamos: $$ (2n)^{3/2} = 2^{3/2} n^{3/2} = 2 \sqrt{2} n^{3/2} $$ Entonces: $$ \sum_{k=n}^{2n} \sqrt{k} \sim \frac{2}{3} n^{3/2} (2 \sqrt{2} - 1) $$ 5. **Cociente:** $$ \frac{\sum_{k=1}^n \sqrt{k}}{\sum_{k=n}^{2n} \sqrt{k}} \sim \frac{\frac{2}{3} n^{3/2}}{\frac{2}{3} n^{3/2} (2 \sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{2 \sqrt{2} - 1} $$ 6. **Respuesta final:** $$ \boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \cdots + \sqrt{n}}{\sqrt{n} + \cdots + \sqrt{2n}} = \frac{1}{2 \sqrt{2} - 1}} $$ Este resultado indica que para valores grandes de $n$, la razón entre las sumas de raíces cuadradas en los intervalos dados se aproxima a este valor constante.